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解 x (復數求解)
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x^{2}+6x+40=0
所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解,一個是在 ± 中使用加法,另一個是使用減法。
x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 40}}{2}
此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},將 1 代入 a,將 6 代入 b,以及將 40 代入 c。
x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 40}}{2}
對 6 平方。
x=\frac{-6±\sqrt{36-160}}{2}
-4 乘上 40。
x=\frac{-6±\sqrt{-124}}{2}
將 36 加到 -160。
x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{2}
取 -124 的平方根。
x=\frac{-6+2\sqrt{31}i}{2}
現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{2}。 將 -6 加到 2i\sqrt{31}。
x=-3+\sqrt{31}i
-6+2i\sqrt{31} 除以 2。
x=\frac{-2\sqrt{31}i-6}{2}
現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{2}。 從 -6 減去 2i\sqrt{31}。
x=-\sqrt{31}i-3
-6-2i\sqrt{31} 除以 2。
x=-3+\sqrt{31}i x=-\sqrt{31}i-3
現已成功解出方程式。
x^{2}+6x+40=0
與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方,首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。
x^{2}+6x+40-40=-40
從方程式兩邊減去 40。
x^{2}+6x=-40
從 40 減去本身會剩下 0。
x^{2}+6x+3^{2}=-40+3^{2}
將 6 (x 項的係數) 除以 2 可得到 3。接著,將 3 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。
x^{2}+6x+9=-40+9
對 3 平方。
x^{2}+6x+9=-31
將 -40 加到 9。
\left(x+3\right)^{2}=-31
因數分解 x^{2}+6x+9。一般而言,當 x^{2}+bx+c 是完全平方時,一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。
\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-31}
取方程式兩邊的平方根。
x+3=\sqrt{31}i x+3=-\sqrt{31}i
化簡。
x=-3+\sqrt{31}i x=-\sqrt{31}i-3
從方程式兩邊減去 3。