Solve x^2+30x-18000=0

$$x ^ { 2 } + 30 x - 18000 = 0$$

解 x

$$x=-150$$

$$x=120$$

使用因數分解的步驟

若要解方程式，請使用公式 x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) 對 x^{2}+30x-18000 進行因數分解。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=30 ab=-18000$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -18000 的所有此類整數組合。

$$-1,18000 -2,9000 -3,6000 -4,4500 -5,3600 -6,3000 -8,2250 -9,2000 -10,1800 -12,1500 -15,1200 -16,1125 -18,1000 -20,900 -24,750 -25,720 -30,600 -36,500 -40,450 -45,400 -48,375 -50,360 -60,300 -72,250 -75,240 -80,225 -90,200 -100,180 -120,150 -125,144$$

計算每個組合的總和。

$$-1+18000=17999 -2+9000=8998 -3+6000=5997 -4+4500=4496 -5+3600=3595 -6+3000=2994 -8+2250=2242 -9+2000=1991 -10+1800=1790 -12+1500=1488 -15+1200=1185 -16+1125=1109 -18+1000=982 -20+900=880 -24+750=726 -25+720=695 -30+600=570 -36+500=464 -40+450=410 -45+400=355 -48+375=327 -50+360=310 -60+300=240 -72+250=178 -75+240=165 -80+225=145 -90+200=110 -100+180=80 -120+150=30 -125+144=19$$

該解為總和為 30 的組合。

$$a=-120 b=150$$

使用取得的值，重寫因數分解過後的運算式 \left(x+a\right)\left(x+b\right)。

$$\left(x-120\right)\left(x+150\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-120=0 和 x+150=0。

$$x=120 x=-150$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 x^{2}+ax+bx-18000。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=30 ab=1\left(-18000\right)=-18000$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -18000 的所有此類整數組合。

$$-1,18000 -2,9000 -3,6000 -4,4500 -5,3600 -6,3000 -8,2250 -9,2000 -10,1800 -12,1500 -15,1200 -16,1125 -18,1000 -20,900 -24,750 -25,720 -30,600 -36,500 -40,450 -45,400 -48,375 -50,360 -60,300 -72,250 -75,240 -80,225 -90,200 -100,180 -120,150 -125,144$$

計算每個組合的總和。

$$-1+18000=17999 -2+9000=8998 -3+6000=5997 -4+4500=4496 -5+3600=3595 -6+3000=2994 -8+2250=2242 -9+2000=1991 -10+1800=1790 -12+1500=1488 -15+1200=1185 -16+1125=1109 -18+1000=982 -20+900=880 -24+750=726 -25+720=695 -30+600=570 -36+500=464 -40+450=410 -45+400=355 -48+375=327 -50+360=310 -60+300=240 -72+250=178 -75+240=165 -80+225=145 -90+200=110 -100+180=80 -120+150=30 -125+144=19$$

該解為總和為 30 的組合。

$$a=-120 b=150$$

將 x^{2}+30x-18000 重寫為 \left(x^{2}-120x\right)+\left(150x-18000\right)。

$$\left(x^{2}-120x\right)+\left(150x-18000\right)$$

對第一個與第二個群組中的 150 進行 x 因式分解。

$$x\left(x-120\right)+150\left(x-120\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-120。

$$\left(x-120\right)\left(x+150\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-120=0 和 x+150=0。

$$x=120 x=-150$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$x^{2}+30x-18000=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1 代入 a，將 30 代入 b，以及將 -18000 代入 c。

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-18000\right)}}{2}$$

對 30 平方。

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-18000\right)}}{2}$$

-4 乘上 -18000。

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+72000}}{2}$$

將 900 加到 72000。

$$x=\frac{-30±\sqrt{72900}}{2}$$

取 72900 的平方根。

$$x=\frac{-30±270}{2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-30±270}{2}。 將 -30 加到 270。

$$x=\frac{240}{2}$$

240 除以 2。

$$x=120$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-30±270}{2}。 從 -30 減去 270。

$$x=-\frac{300}{2}$$

-300 除以 2。

$$x=-150$$

現已成功解出方程式。

$$x=120 x=-150$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$x^{2}+30x-18000=0$$

將 18000 加到方程式的兩邊。

$$x^{2}+30x-18000-\left(-18000\right)=-\left(-18000\right)$$

從 -18000 減去本身會剩下 0。

$$x^{2}+30x=-\left(-18000\right)$$

從 0 減去 -18000。

$$x^{2}+30x=18000$$

將 30 (x 項的係數) 除以 2 可得到 15。接著，將 15 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+30x+15^{2}=18000+15^{2}$$

對 15 平方。

$$x^{2}+30x+225=18000+225$$

將 18000 加到 225。

$$x^{2}+30x+225=18225$$

因數分解 x^{2}+30x+225。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+15\right)^{2}=18225$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+15\right)^{2}}=\sqrt{18225}$$

化簡。

$$x+15=135 x+15=-135$$

從方程式兩邊減去 15。

$$x=120 x=-150$$