解決x^2+11+sqrt{x^2+11}=42 |Microsoft數學求解器

$$x ^ { 2 } + 11 + \sqrt { x ^ { 2 } + 11 } = 42$$

解 x

$$x=-5$$

$$x=5$$

解題步驟

從方程式兩邊減去 x^{2}+11。

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-\left(x^{2}+11\right)$$

若要尋找 x^{2}+11 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-x^{2}-11$$

從 42 減去 11 會得到 31。

$$\sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}$$

對方程式的兩邊都平方。

$$\left(\sqrt{x^{2}+11}\right)^{2}=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{x^{2}+11} 的 2 乘冪，然後得到 x^{2}+11。

$$x^{2}+11=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(31-x^{2}\right)^{2}。

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}$$

計算某數乘冪之乘冪的方法: 將指數相乘。2 乘 2 得到 4。

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+x^{4}$$

從兩邊減去 961。

$$x^{2}+11-961=-62x^{2}+x^{4}$$

從 11 減去 961 會得到 -950。

$$x^{2}-950=-62x^{2}+x^{4}$$

新增 62x^{2} 至兩側。

$$x^{2}-950+62x^{2}=x^{4}$$

合併 x^{2} 和 62x^{2} 以取得 63x^{2}。

$$63x^{2}-950=x^{4}$$

從兩邊減去 x^{4}。

$$63x^{2}-950-x^{4}=0$$

以 t 代入 x^{2}。

$$-t^{2}+63t-950=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式可以使用二次方公式解出: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。在二次方公式中以 -1 取代 a、以 63 取代 b 並以 -950 取 c。

$$t=\frac{-63±\sqrt{63^{2}-4\left(-1\right)\left(-950\right)}}{-2}$$

計算。

$$t=\frac{-63±13}{-2}$$

當 ± 為加號與 ± 為減號時解方程式 t=\frac{-63±13}{-2}。

$$t=25 t=38$$

因為 x=t^{2}，透過計算 x=±\sqrt{t} 的每個 t 可得到解。

$$x=5 x=-5 x=\sqrt{38} x=-\sqrt{38}$$

在方程式 x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 中以 5 代入 x。

$$5^{2}+11+\sqrt{5^{2}+11}=42$$

化簡。 滿足方程式的值 x=5。

$$42=42$$

在方程式 x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 中以 -5 代入 x。

$$\left(-5\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-5\right)^{2}+11}=42$$

化簡。 滿足方程式的值 x=-5。

$$42=42$$

在方程式 x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 中以 \sqrt{38} 代入 x。

$$\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

化簡。 x=\sqrt{38} 的值不符合方程式。

$$56=42$$

在方程式 x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 中以 -\sqrt{38} 代入 x。

$$\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

化簡。 x=-\sqrt{38} 的值不符合方程式。

$$56=42$$

列出 \sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2} 所有的解。

$$x=5 x=-5$$