Solve x=x^2-1

$$x = x ^ { 2 } - 1$$

解 x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989$$

使用二次方程式公式的步驟

從兩邊減去 x^{2}。

$$x-x^{2}=-1$$

新增 1 至兩側。

$$x-x^{2}+1=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-x^{2}+x+1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -1 代入 a，將 1 代入 b，以及將 1 代入 c。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

對 1 平方。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 乘上 -1。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

將 1 加到 4。

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

2 乘上 -1。

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}。 將 -1 加到 \sqrt{5}。

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

-1+\sqrt{5} 除以 -2。

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}。 從 -1 減去 \sqrt{5}。

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

-1-\sqrt{5} 除以 -2。

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

配方法的步驟

從兩邊減去 x^{2}。

$$x-x^{2}=-1$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-x^{2}+x=-1$$

將兩邊同時除以 -1。

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

除以 -1 可以取消乘以 -1 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

1 除以 -1。

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

-1 除以 -1。

$$x^{2}-x=1$$

將 -1 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{2}。接著，將 -\frac{1}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

將 1 加到 \frac{1}{4}。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

因數分解 x^{2}-x+\frac{1}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

化簡。

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

將 \frac{1}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$