解決x+3y=6;5x-2y=13 |Microsoft數學求解器

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+3y=6$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$x=-3y+6$$

在另一個方程式 5x-2y=13 中以 -3y+6 代入 x在方程式。

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

5 乘上 -3y+6。

$$-15y+30-2y=13$$

將 -15y 加到 -2y。

$$-17y+30=13$$

從方程式兩邊減去 30。

$$-17y=-17$$

將兩邊同時除以 -17。

$$y=1$$

在 x=-3y+6 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-3+6$$

將 6 加到 -3。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

讓 x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

化簡。

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x+15y=30 減去 5x-2y=13。

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$15y+2y=30-13$$

將 15y 加到 2y。

$$17y=30-13$$

將 30 加到 -13。

$$17y=17$$

將兩邊同時除以 17。

$$y=1$$

在 5x-2y=13 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x-2=13$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$5x=15$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=1$$