解決x+2y=12,12=9x-2y |Microsoft數學求解器

$$x + 2 y = 12,12 = 9 x - 2 y$$

解 x、y

$$x = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

$$y = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} = 4.8$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$9x-2y=12$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+2y=12$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$x=-2y+12$$

在另一個方程式 9x-2y=12 中以 -2y+12 代入 x在方程式。

$$9\left(-2y+12\right)-2y=12$$

9 乘上 -2y+12。

$$-18y+108-2y=12$$

將 -18y 加到 -2y。

$$-20y+108=12$$

從方程式兩邊減去 108。

$$-20y=-96$$

將兩邊同時除以 -20。

$$y=\frac{24}{5}$$

在 x=-2y+12 中以 \frac{24}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\times \frac{24}{5}+12$$

-2 乘上 \frac{24}{5}。

$$x=-\frac{48}{5}+12$$

將 12 加到 -\frac{48}{5}。

$$x=\frac{12}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$9x-2y=12$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2\times 9}&-\frac{2}{-2-2\times 9}\\-\frac{9}{-2-2\times 9}&\frac{1}{-2-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{20}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 12+\frac{1}{10}\times 12\\\frac{9}{20}\times 12-\frac{1}{20}\times 12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\\frac{24}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$9x-2y=12$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

讓 x 和 9x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 9，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$9x+9\times 2y=9\times 12,9x-2y=12$$

化簡。

$$9x+18y=108,9x-2y=12$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 9x+18y=108 減去 9x-2y=12。

$$9x-9x+18y+2y=108-12$$

將 9x 加到 -9x。 9x 和 -9x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$18y+2y=108-12$$

將 18y 加到 2y。

$$20y=108-12$$

將 108 加到 -12。

$$20y=96$$

將兩邊同時除以 20。

$$y=\frac{24}{5}$$

在 9x-2y=12 中以 \frac{24}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$9x-2\times \frac{24}{5}=12$$

-2 乘上 \frac{24}{5}。

$$9x-\frac{48}{5}=12$$

將 \frac{48}{5} 加到方程式的兩邊。

$$9x=\frac{108}{5}$$

將兩邊同時除以 9。

$$x=\frac{12}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$