解決x+1=sqrt{x+2} |Microsoft數學求解器

$$x + 1 = \sqrt { x + 2 }$$

解 x

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618033989$$

解題步驟

對方程式的兩邊都平方。

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(x+1\right)^{2}。

$$x^{2}+2x+1=\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{x+2} 的 2 乘冪，然後得到 x+2。

$$x^{2}+2x+1=x+2$$

從兩邊減去 x。

$$x^{2}+2x+1-x=2$$

合併 2x 和 -x 以取得 x。

$$x^{2}+x+1=2$$

從兩邊減去 2。

$$x^{2}+x+1-2=0$$

從 1 減去 2 會得到 -1。

$$x^{2}+x-1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1 代入 a，將 1 代入 b，以及將 -1 代入 c。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

對 1 平方。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}$$

-4 乘上 -1。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2}$$

將 1 加到 4。

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}。 將 -1 加到 \sqrt{5}。

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}。 從 -1 減去 \sqrt{5}。

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$$

在方程式 x+1=\sqrt{x+2} 中以 \frac{\sqrt{5}-1}{2} 代入 x。

$$\frac{\sqrt{5}-1}{2}+1=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}+2}$$

化簡。 滿足方程式的值 x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}。

$$\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

在方程式 x+1=\sqrt{x+2} 中以 \frac{-\sqrt{5}-1}{2} 代入 x。

$$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+1=\sqrt{\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+2}$$

化簡。 x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} 這個值無法滿足方程式，因為左右側有相反的符號。

$$-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}=-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)$$

方程式 x+1=\sqrt{x+2} 有獨特的解。

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$