解決x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2 |Microsoft數學求解器

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

解 x

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3.166666667$$

使用依分組因數分解的步驟

對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

計算 3 乘上 3x+1 時使用乘法分配律。

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

合併 6x 和 9x 以取得 15x。

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

計算 -2 乘上 x-2 時使用乘法分配律。

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

合併 15x 和 -2x 以取得 13x。

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

將 3 與 4 相加可以得到 7。

$$13x+7=6x^{2}-12$$

從兩邊減去 6x^{2}。

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

新增 12 至兩側。

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

將 7 與 12 相加可以得到 19。

$$13x+19-6x^{2}=0$$

重新排列多項式，使其以標準式表示。由乘冪數最高的項目到乘冪數最低的項目依序排列。

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 -6x^{2}+ax+bx+19。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -114 的所有此類整數組合。

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

計算每個組合的總和。

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

該解為總和為 13 的組合。

$$a=19 b=-6$$

將 -6x^{2}+13x+19 重寫為 \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)。

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

對第一個與第二個群組中的 -1 進行 -x 因式分解。

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 6x-19。

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 6x-19=0 和 -x-1=0。

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

使用二次方程式公式的步驟

對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

計算 3 乘上 3x+1 時使用乘法分配律。

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

合併 6x 和 9x 以取得 15x。

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

計算 -2 乘上 x-2 時使用乘法分配律。

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

合併 15x 和 -2x 以取得 13x。

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

將 3 與 4 相加可以得到 7。

$$13x+7=6x^{2}-12$$

從兩邊減去 6x^{2}。

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

新增 12 至兩側。

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

將 7 與 12 相加可以得到 19。

$$13x+19-6x^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -6 代入 a，將 13 代入 b，以及將 19 代入 c。

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

對 13 平方。

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

-4 乘上 -6。

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

24 乘上 19。

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

將 169 加到 456。

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

取 625 的平方根。

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

2 乘上 -6。

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-13±25}{-12}。 將 -13 加到 25。

$$x=\frac{12}{-12}$$

12 除以 -12。

$$x=-1$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-13±25}{-12}。 從 -13 減去 25。

$$x=-\frac{38}{-12}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-38}{-12} 約分至最低項。

$$x=\frac{19}{6}$$

現已成功解出方程式。

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

配方法的步驟

對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

計算 3 乘上 3x+1 時使用乘法分配律。

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

合併 6x 和 9x 以取得 15x。

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

計算 -2 乘上 x-2 時使用乘法分配律。

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

合併 15x 和 -2x 以取得 13x。

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

將 3 與 4 相加可以得到 7。

$$13x+7=6x^{2}-12$$

從兩邊減去 6x^{2}。

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

從兩邊減去 7。

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

從 -12 減去 7 會得到 -19。

$$13x-6x^{2}=-19$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-6x^{2}+13x=-19$$

將兩邊同時除以 -6。

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

除以 -6 可以取消乘以 -6 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

13 除以 -6。

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

-19 除以 -6。

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

將 -\frac{13}{6} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{13}{12}。接著，將 -\frac{13}{12} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

-\frac{13}{12} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

將 \frac{19}{6} 與 \frac{169}{144} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

因數分解 x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

化簡。

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

將 \frac{13}{12} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$