解決n^2-n-210=0 |Microsoft數學求解器

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

解 n

$$n=-14$$

$$n=15$$

使用因數分解的步驟

若要解出方程式，請使用公式 n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) n^{2}-n-210。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-1 ab=-210$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -210 的所有此類整數組合。

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

計算每個組合的總和。

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

該解的總和為 -1。

$$a=-15 b=14$$

使用取得的值，重寫因數分解過後的運算式 \left(n+a\right)\left(n+b\right)。

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 n-15=0 並 n+14=0。

$$n=15 n=-14$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 n^{2}+an+bn-210。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -210 的所有此類整數組合。

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

計算每個組合的總和。

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

該解的總和為 -1。

$$a=-15 b=14$$

將 n^{2}-n-210 重寫為 \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)。

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

在第一個組因式分解是 n，且第二個組是 14。

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 n-15。

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 n-15=0 並 n+14=0。

$$n=15 n=-14$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$n^{2}-n-210=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1 代入 a，將 -1 代入 b，以及將 -210 代入 c。

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

-4 乘上 -210。

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

將 1 加到 840。

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

取 841 的平方根。

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

-1 的相反數是 1。

$$n=\frac{1±29}{2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 n=\frac{1±29}{2}。 將 1 加到 29。

$$n=\frac{30}{2}$$

30 除以 2。

$$n=15$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 n=\frac{1±29}{2}。 從 1 減去 29。

$$n=-\frac{28}{2}$$

-28 除以 2。

$$n=-14$$

現已成功解出方程式。

$$n=15 n=-14$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$n^{2}-n-210=0$$

將 210 加到方程式的兩邊。

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

從 -210 減去本身會剩下 0。

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

從 0 減去 -210。

$$n^{2}-n=210$$

將 -1 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{2}。接著，將 -\frac{1}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

將 210 加到 \frac{1}{4}。

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

因數分解 n^{2}-n+\frac{1}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

化簡。

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

將 \frac{1}{2} 加到方程式的兩邊。

$$n=15 n=-14$$