解決n^2-11n-60=0 |Microsoft數學求解器

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

解 n

$$n=-4$$

$$n=15$$

使用因數分解的步驟

若要解出方程式，請使用公式 n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) n^{2}-11n-60。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-11 ab=-60$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -60 的所有此類整數組合。

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

計算每個組合的總和。

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

該解的總和為 -11。

$$a=-15 b=4$$

使用取得的值，重寫因數分解過後的運算式 \left(n+a\right)\left(n+b\right)。

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 n-15=0 並 n+4=0。

$$n=15 n=-4$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 n^{2}+an+bn-60。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -60 的所有此類整數組合。

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

計算每個組合的總和。

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

該解的總和為 -11。

$$a=-15 b=4$$

將 n^{2}-11n-60 重寫為 \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)。

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

在第一個組因式分解是 n，且第二個組是 4。

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 n-15。

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 n-15=0 並 n+4=0。

$$n=15 n=-4$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$n^{2}-11n-60=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1 代入 a，將 -11 代入 b，以及將 -60 代入 c。

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

對 -11 平方。

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

-4 乘上 -60。

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

將 121 加到 240。

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

取 361 的平方根。

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

-11 的相反數是 11。

$$n=\frac{11±19}{2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 n=\frac{11±19}{2}。 將 11 加到 19。

$$n=\frac{30}{2}$$

30 除以 2。

$$n=15$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 n=\frac{11±19}{2}。 從 11 減去 19。

$$n=-\frac{8}{2}$$

-8 除以 2。

$$n=-4$$

現已成功解出方程式。

$$n=15 n=-4$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$n^{2}-11n-60=0$$

將 60 加到方程式的兩邊。

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

從 -60 減去本身會剩下 0。

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

從 0 減去 -60。

$$n^{2}-11n=60$$

將 -11 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{11}{2}。接著，將 -\frac{11}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

-\frac{11}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

將 60 加到 \frac{121}{4}。

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

因數分解 n^{2}-11n+\frac{121}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

化簡。

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

將 \frac{11}{2} 加到方程式的兩邊。

$$n=15 n=-4$$