解決f(x)=siny |Microsoft數學求解器

$$f ( x ) = \sin y$$

對 y 微分

$$\cos(y)$$

使用導數定義的步驟

對函式 f\left(x\right)，導數是當 h 逼近 0 時 \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} 的極限值 (如果極限值存在的話)。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(\sin(y))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}\right)$$

使用正弦的合計公式。

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}$$

因式分解 \sin(y)。

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(y)\sin(h)}{h}$$

改寫極限。

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

計算 h 逼近 0 時的極限值，可以利用 y 是常數的事實。

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

limit \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} 為 1。

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)$$

計算 limit \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} 的方法: 先將分母與分子乘上 \cos(h)+1。

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

\cos(h)+1 乘上 \cos(h)-1。

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

使用平方關係式。

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

改寫極限。

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

limit \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} 為 1。

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

利用 \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} 在 0 上是連續的事實。

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

將值 0 代入運算式 \sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)。

$$\cos(y)$$

評估

$$\sin(y)$$