解決f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^3+2t^2+1)dt |Microsoft數學求解器

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 3 } + 2 t ^ { 2 } + 1 ) d t$$

評估

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

解題步驟

先計算不定積分。

$$\int t^{3}+2t^{2}+1\mathrm{d}t$$

將積分逐項加總。

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+\int 2t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

在每個項目中因式分解常數。

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

因為 \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{t^{4}}{4} 取代 \int t^{3}\mathrm{d}t。

$$\frac{t^{4}}{4}+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

因為 \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{t^{3}}{3} 取代 \int t^{2}\mathrm{d}t。 2 乘上 \frac{t^{3}}{3}。

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+\int 1\mathrm{d}t$$

使用常用積分規則 \int a\mathrm{d}t=at 的表格來找出 1 的積分。

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+t$$

定積分是運算式於積分上限所計值的反導數減去多項式於積分下限所計值的反導數。

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2}{3}x^{3}+x-\left(\frac{0^{4}}{4}+\frac{2}{3}\times 0^{3}+0\right)$$

化簡。

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

對 x 微分

$$x^{3}+2x^{2}+1$$