解決9y^2-12y+2=0 |Microsoft數學求解器

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

解 y

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1.138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0.195262146$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$9y^{2}-12y+2=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 9 代入 a，將 -12 代入 b，以及將 2 代入 c。

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

對 -12 平方。

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

-4 乘上 9。

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

-36 乘上 2。

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

將 144 加到 -72。

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

取 72 的平方根。

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

-12 的相反數是 12。

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

2 乘上 9。

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}。 將 12 加到 6\sqrt{2}。

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

12+6\sqrt{2} 除以 18。

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}。 從 12 減去 6\sqrt{2}。

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

12-6\sqrt{2} 除以 18。

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$9y^{2}-12y+2=0$$

從方程式兩邊減去 2。

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

從 2 減去本身會剩下 0。

$$9y^{2}-12y=-2$$

將兩邊同時除以 9。

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

除以 9 可以取消乘以 9 造成的效果。

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

透過找出與消去 3，對分式 \frac{-12}{9} 約分至最低項。

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

將 -\frac{4}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{2}{3}。接著，將 -\frac{2}{3} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

-\frac{2}{3} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

將 -\frac{2}{9} 與 \frac{4}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

因數分解 y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

化簡。

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

將 \frac{2}{3} 加到方程式的兩邊。

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$