解決9x^2-155x-500=0 |Microsoft數學求解器

$$9 x ^ { 2 } - 155 x - 500 = 0$$

解 x

$$x = -\frac{25}{9} = -2\frac{7}{9} \approx -2.777777778$$

$$x=20$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 9x^{2}+ax+bx-500。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-155 ab=9\left(-500\right)=-4500$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -4500 的所有此類整數組合。

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

計算每個組合的總和。

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

該解的總和為 -155。

$$a=-180 b=25$$

將 9x^{2}-155x-500 重寫為 \left(9x^{2}-180x\right)+\left(25x-500\right)。

$$\left(9x^{2}-180x\right)+\left(25x-500\right)$$

在第一個組因式分解是 9x，且第二個組是 25。

$$9x\left(x-20\right)+25\left(x-20\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-20。

$$\left(x-20\right)\left(9x+25\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-20=0 並 9x+25=0。

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$9x^{2}-155x-500=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 9 代入 a，將 -155 代入 b，以及將 -500 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{\left(-155\right)^{2}-4\times 9\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

對 -155 平方。

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025-4\times 9\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

-4 乘上 9。

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025-36\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

-36 乘上 -500。

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025+18000}}{2\times 9}$$

將 24025 加到 18000。

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{42025}}{2\times 9}$$

取 42025 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-155\right)±205}{2\times 9}$$

-155 的相反數是 155。

$$x=\frac{155±205}{2\times 9}$$

2 乘上 9。

$$x=\frac{155±205}{18}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{155±205}{18}。 將 155 加到 205。

$$x=\frac{360}{18}$$

360 除以 18。

$$x=20$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{155±205}{18}。 從 155 減去 205。

$$x=-\frac{50}{18}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-50}{18} 約分至最低項。

$$x=-\frac{25}{9}$$

現已成功解出方程式。

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$9x^{2}-155x-500=0$$

將 500 加到方程式的兩邊。

$$9x^{2}-155x-500-\left(-500\right)=-\left(-500\right)$$

從 -500 減去本身會剩下 0。

$$9x^{2}-155x=-\left(-500\right)$$

從 0 減去 -500。

$$9x^{2}-155x=500$$

將兩邊同時除以 9。

$$\frac{9x^{2}-155x}{9}=\frac{500}{9}$$

除以 9 可以取消乘以 9 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{155}{9}x=\frac{500}{9}$$

將 -\frac{155}{9} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{155}{18}。接著，將 -\frac{155}{18} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\left(-\frac{155}{18}\right)^{2}=\frac{500}{9}+\left(-\frac{155}{18}\right)^{2}$$

-\frac{155}{18} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}=\frac{500}{9}+\frac{24025}{324}$$

將 \frac{500}{9} 與 \frac{24025}{324} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}=\frac{42025}{324}$$

因數分解 x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{155}{18}\right)^{2}=\frac{42025}{324}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{155}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{42025}{324}}$$

化簡。

$$x-\frac{155}{18}=\frac{205}{18} x-\frac{155}{18}=-\frac{205}{18}$$

將 \frac{155}{18} 加到方程式的兩邊。

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$