Solve 9x^2-14x-14=0

$$9 x ^ { 2 } - 14 x - 14 = 0$$

解 x

$$x = \frac{5 \sqrt{7} + 7}{9} \approx 2.247639617$$

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}\approx -0.692084062$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$9x^{2}-14x-14=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 9 代入 a，將 -14 代入 b，以及將 -14 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

對 -14 平方。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

-4 乘上 9。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-36\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

-36 乘上 -14。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+504}}{2\times 9}$$

將 196 加到 504。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{700}}{2\times 9}$$

取 700 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

-14 的相反數是 14。

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

2 乘上 9。

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}。 將 14 加到 10\sqrt{7}。

$$x=\frac{10\sqrt{7}+14}{18}$$

14+10\sqrt{7} 除以 18。

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}。 從 14 減去 10\sqrt{7}。

$$x=\frac{14-10\sqrt{7}}{18}$$

14-10\sqrt{7} 除以 18。

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$9x^{2}-14x-14=0$$

將 14 加到方程式的兩邊。

$$9x^{2}-14x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

從 -14 減去本身會剩下 0。

$$9x^{2}-14x=-\left(-14\right)$$

從 0 減去 -14。

$$9x^{2}-14x=14$$

將兩邊同時除以 9。

$$\frac{9x^{2}-14x}{9}=\frac{14}{9}$$

除以 9 可以取消乘以 9 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{14}{9}x=\frac{14}{9}$$

將 -\frac{14}{9} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{7}{9}。接著，將 -\frac{7}{9} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{14}{9}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

-\frac{7}{9} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{14}{9}+\frac{49}{81}$$

將 \frac{14}{9} 與 \frac{49}{81} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{175}{81}$$

因數分解 x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{175}{81}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{175}{81}}$$

化簡。

$$x-\frac{7}{9}=\frac{5\sqrt{7}}{9} x-\frac{7}{9}=-\frac{5\sqrt{7}}{9}$$

將 \frac{7}{9} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$