解決9n^2-23n+20=3n^2 |Microsoft數學求解器

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

解 n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

使用依分組因數分解的步驟

從兩邊減去 3n^{2}。

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

合併 9n^{2} 和 -3n^{2} 以取得 6n^{2}。

$$6n^{2}-23n+20=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 6n^{2}+an+bn+20。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

因為 ab 為正數, a 且 b 具有相同的符號。 因為 a+b 為負值, a 且 b 均為負數。 列出乘積為 120 的所有此類整數組合。

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

計算每個組合的總和。

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

該解為總和為 -23 的組合。

$$a=-15 b=-8$$

將 6n^{2}-23n+20 重寫為 \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)。

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

對第一個與第二個群組中的 -4 進行 3n 因式分解。

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 2n-5。

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 2n-5=0 和 3n-4=0。

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

使用二次方程式公式的步驟

從兩邊減去 3n^{2}。

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

合併 9n^{2} 和 -3n^{2} 以取得 6n^{2}。

$$6n^{2}-23n+20=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 6 代入 a，將 -23 代入 b，以及將 20 代入 c。

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

對 -23 平方。

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

-4 乘上 6。

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

-24 乘上 20。

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

將 529 加到 -480。

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

取 49 的平方根。

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

-23 的相反數是 23。

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

2 乘上 6。

$$n=\frac{23±7}{12}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 n=\frac{23±7}{12}。 將 23 加到 7。

$$n=\frac{30}{12}$$

透過找出與消去 6，對分式 \frac{30}{12} 約分至最低項。

$$n=\frac{5}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 n=\frac{23±7}{12}。 從 23 減去 7。

$$n=\frac{16}{12}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{16}{12} 約分至最低項。

$$n=\frac{4}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

配方法的步驟

從兩邊減去 3n^{2}。

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

合併 9n^{2} 和 -3n^{2} 以取得 6n^{2}。

$$6n^{2}-23n+20=0$$

從兩邊減去 20。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$6n^{2}-23n=-20$$

將兩邊同時除以 6。

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

除以 6 可以取消乘以 6 造成的效果。

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-20}{6} 約分至最低項。

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

將 -\frac{23}{6} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{23}{12}。接著，將 -\frac{23}{12} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

-\frac{23}{12} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

將 -\frac{10}{3} 與 \frac{529}{144} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

因數分解 n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

化簡。

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

將 \frac{23}{12} 加到方程式的兩邊。

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$