Solve 9x^2-30x+25=0

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

解 x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 9x^{2}+ax+bx+25。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

因為 ab 為正數, a 且 b 具有相同的符號。 因為 a+b 為負值, a 且 b 均為負數。 列出乘積為 225 的所有此類整數組合。

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

計算每個組合的總和。

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

該解為總和為 -30 的組合。

$$a=-15 b=-15$$

將 9x^{2}-30x+25 重寫為 \left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)。

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

對第一個與第二個群組中的 -5 進行 3x 因式分解。

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 3x-5。

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

改寫為二項式平方。

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

若要求方程式的解，請解出 3x-5=0。

$$x=\frac{5}{3}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$9x^{2}-30x+25=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 9 代入 a，將 -30 代入 b，以及將 25 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

對 -30 平方。

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

-4 乘上 9。

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

-36 乘上 25。

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

將 900 加到 -900。

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

取 0 的平方根。

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

-30 的相反數是 30。

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

2 乘上 9。

$$x=\frac{30}{18}$$

透過找出與消去 6，對分式 \frac{30}{18} 約分至最低項。

$$x=\frac{5}{3}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$9x^{2}-30x+25=0$$

從方程式兩邊減去 25。

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

從 25 減去本身會剩下 0。

$$9x^{2}-30x=-25$$

將兩邊同時除以 9。

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

除以 9 可以取消乘以 9 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

透過找出與消去 3，對分式 \frac{-30}{9} 約分至最低項。

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

將 -\frac{10}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{5}{3}。接著，將 -\frac{5}{3} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

-\frac{5}{3} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

將 -\frac{25}{9} 與 \frac{25}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

因數分解 x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

化簡。

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

將 \frac{5}{3} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

現已成功解出方程式。 解法是相同的。

$$x=\frac{5}{3}$$