解決84x^2+4sqrt{3}x+3=0 |Microsoft數學求解器

$$84 x ^ { 2 } + 4 \sqrt { 3 } x + 3 = 0$$

解 x (復數求解)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0.041239305+0.184427778i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0.041239305-0.184427778i$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 84 代入 a，將 4\sqrt{3} 代入 b，以及將 3 代入 c。

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{\left(4\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

對 4\sqrt{3} 平方。

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

-4 乘上 84。

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-336\times 3}}{2\times 84}$$

-336 乘上 3。

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-1008}}{2\times 84}$$

將 48 加到 -1008。

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{-960}}{2\times 84}$$

取 -960 的平方根。

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{2\times 84}$$

2 乘上 84。

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}。 將 -4\sqrt{3} 加到 8i\sqrt{15}。

$$x=\frac{-4\sqrt{3}+8\sqrt{15}i}{168}$$

-4\sqrt{3}+8i\sqrt{15} 除以 168。

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}。 從 -4\sqrt{3} 減去 8i\sqrt{15}。

$$x=\frac{-8\sqrt{15}i-4\sqrt{3}}{168}$$

-4\sqrt{3}-8i\sqrt{15} 除以 168。

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

從方程式兩邊減去 3。

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3-3=-3$$

從 3 減去本身會剩下 0。

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x=-3$$

將兩邊同時除以 84。

$$\frac{84x^{2}+4\sqrt{3}x}{84}=-\frac{3}{84}$$

除以 84 可以取消乘以 84 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{84}x=-\frac{3}{84}$$

4\sqrt{3} 除以 84。

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{3}{84}$$

透過找出與消去 3，對分式 \frac{-3}{84} 約分至最低項。

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{1}{28}$$

將 \frac{\sqrt{3}}{21} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{\sqrt{3}}{42}。接著，將 \frac{\sqrt{3}}{42} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{1}{28}+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}$$

對 \frac{\sqrt{3}}{42} 平方。

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{588}$$

將 -\frac{1}{28} 與 \frac{1}{588} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{5}{147}$$

因數分解 x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{5}{147}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{147}}$$

化簡。

$$x+\frac{\sqrt{3}}{42}=\frac{\sqrt{15}i}{21} x+\frac{\sqrt{3}}{42}=-\frac{\sqrt{15}i}{21}$$

從方程式兩邊減去 \frac{\sqrt{3}}{42}。

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$