解決8n^2-106n-7500=0 |Microsoft數學求解器

$$8 n ^ { 2 } - 106 n - 7500 = 0$$

解 n

$$n = \frac{\sqrt{62809} + 53}{8} \approx 37.952154754$$

$$n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}\approx -24.702154754$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$8n^{2}-106n-7500=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 8 代入 a，將 -106 代入 b，以及將 -7500 代入 c。

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{\left(-106\right)^{2}-4\times 8\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

對 -106 平方。

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236-4\times 8\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

-4 乘上 8。

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236-32\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

-32 乘上 -7500。

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236+240000}}{2\times 8}$$

將 11236 加到 240000。

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{251236}}{2\times 8}$$

取 251236 的平方根。

$$n=\frac{-\left(-106\right)±2\sqrt{62809}}{2\times 8}$$

-106 的相反數是 106。

$$n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{2\times 8}$$

2 乘上 8。

$$n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16}。 將 106 加到 2\sqrt{62809}。

$$n=\frac{2\sqrt{62809}+106}{16}$$

106+2\sqrt{62809} 除以 16。

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16}。 從 106 減去 2\sqrt{62809}。

$$n=\frac{106-2\sqrt{62809}}{16}$$

106-2\sqrt{62809} 除以 16。

$$n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$

現已成功解出方程式。

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8} n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$8n^{2}-106n-7500=0$$

將 7500 加到方程式的兩邊。

$$8n^{2}-106n-7500-\left(-7500\right)=-\left(-7500\right)$$

從 -7500 減去本身會剩下 0。

$$8n^{2}-106n=-\left(-7500\right)$$

從 0 減去 -7500。

$$8n^{2}-106n=7500$$

將兩邊同時除以 8。

$$\frac{8n^{2}-106n}{8}=\frac{7500}{8}$$

除以 8 可以取消乘以 8 造成的效果。

$$n^{2}+\left(-\frac{106}{8}\right)n=\frac{7500}{8}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-106}{8} 約分至最低項。

$$n^{2}-\frac{53}{4}n=\frac{7500}{8}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{7500}{8} 約分至最低項。

$$n^{2}-\frac{53}{4}n=\frac{1875}{2}$$

將 -\frac{53}{4} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{53}{8}。接著，將 -\frac{53}{8} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{1875}{2}+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}$$

-\frac{53}{8} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}=\frac{1875}{2}+\frac{2809}{64}$$

將 \frac{1875}{2} 與 \frac{2809}{64} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}=\frac{62809}{64}$$

因數分解 n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(n-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{62809}{64}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(n-\frac{53}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{62809}{64}}$$

化簡。

$$n-\frac{53}{8}=\frac{\sqrt{62809}}{8} n-\frac{53}{8}=-\frac{\sqrt{62809}}{8}$$

將 \frac{53}{8} 加到方程式的兩邊。

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8} n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$