解決7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3 |Microsoft數學求解器

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

解 x、y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1.689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0.655172414$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$7x-15y-2=0$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$7x-15y=2$$

將 15y 加到方程式的兩邊。

$$7x=15y+2$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 15y+2。

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

在另一個方程式 x+2y=3 中以 \frac{15y+2}{7} 代入 x在方程式。

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

將 \frac{15y}{7} 加到 2y。

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

從方程式兩邊減去 \frac{2}{7}。

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{29}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{19}{29}$$

在 x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7} 中以 \frac{19}{29} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

\frac{15}{7} 乘上 \frac{19}{29} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

將 \frac{2}{7} 與 \frac{285}{203} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{49}{29}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

讓 7x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 7。

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

化簡。

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 7x-15y-2=0 減去 7x+14y=21。

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

將 7x 加到 -7x。 7x 和 -7x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-15y-14y-2=-21$$

將 -15y 加到 -14y。

$$-29y-2=-21$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$-29y=-19$$

將兩邊同時除以 -29。

$$y=\frac{19}{29}$$

在 x+2y=3 中以 \frac{19}{29} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

2 乘上 \frac{19}{29}。

$$x+\frac{38}{29}=3$$

從方程式兩邊減去 \frac{38}{29}。

$$x=\frac{49}{29}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$