解決7x^2+4x+1=0 |Microsoft數學求解器

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

解 x (復數求解)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0.285714286+0.24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0.285714286-0.24743583i$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$7x^{2}+4x+1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 7 代入 a，將 4 代入 b，以及將 1 代入 c。

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

對 4 平方。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

-4 乘上 7。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

將 16 加到 -28。

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

取 -12 的平方根。

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

2 乘上 7。

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}。 將 -4 加到 2i\sqrt{3}。

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

-4+2i\sqrt{3} 除以 14。

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}。 從 -4 減去 2i\sqrt{3}。

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

-4-2i\sqrt{3} 除以 14。

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$7x^{2}+4x+1=0$$

從方程式兩邊減去 1。

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

從 1 減去本身會剩下 0。

$$7x^{2}+4x=-1$$

將兩邊同時除以 7。

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

除以 7 可以取消乘以 7 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

將 \frac{4}{7} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{2}{7}。接著，將 \frac{2}{7} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

\frac{2}{7} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

將 -\frac{1}{7} 與 \frac{4}{49} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

因數分解 x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

化簡。

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

從方程式兩邊減去 \frac{2}{7}。

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$