Solve 7x^2-3x-5=0

$$7 { x }^{ 2 } -3x-5=0$$

解 x

$$x = \frac{\sqrt{149} + 3}{14} \approx 1.086182544$$

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}\approx -0.657611115$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$7x^{2}-3x-5=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 7 代入 a，將 -3 代入 b，以及將 -5 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

對 -3 平方。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

-4 乘上 7。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

-28 乘上 -5。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+140}}{2\times 7}$$

將 9 加到 140。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

-3 的相反數是 3。

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

2 乘上 7。

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{14}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{3±\sqrt{149}}{14}。 將 3 加到 \sqrt{149}。

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{3±\sqrt{149}}{14}。 從 3 減去 \sqrt{149}。

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$7x^{2}-3x-5=0$$

將 5 加到方程式的兩邊。

$$7x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

從 -5 減去本身會剩下 0。

$$7x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

從 0 減去 -5。

$$7x^{2}-3x=5$$

將兩邊同時除以 7。

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{5}{7}$$

除以 7 可以取消乘以 7 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{5}{7}$$

將 -\frac{3}{7} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{3}{14}。接著，將 -\frac{3}{14} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{5}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

-\frac{3}{14} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{5}{7}+\frac{9}{196}$$

將 \frac{5}{7} 與 \frac{9}{196} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{149}{196}$$

因數分解 x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{149}{196}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{149}{196}}$$

化簡。

$$x-\frac{3}{14}=\frac{\sqrt{149}}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{\sqrt{149}}{14}$$

將 \frac{3}{14} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$