解決64x^2+24sqrt{5}x+33=0 |Microsoft數學求解器

$$64 x ^ { 2 } + 24 \sqrt { 5 } x + 33 = 0$$

解 x (復數求解)

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}\approx -0.419262746+0.582961191i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}\approx -0.419262746-0.582961191i$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 64 代入 a，將 24\sqrt{5} 代入 b，以及將 33 代入 c。

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{\left(24\sqrt{5}\right)^{2}-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

對 24\sqrt{5} 平方。

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

-4 乘上 64。

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-256\times 33}}{2\times 64}$$

-256 乘上 33。

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-8448}}{2\times 64}$$

將 2880 加到 -8448。

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{-5568}}{2\times 64}$$

取 -5568 的平方根。

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{2\times 64}$$

2 乘上 64。

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}。 將 -24\sqrt{5} 加到 8i\sqrt{87}。

$$x=\frac{-24\sqrt{5}+8\sqrt{87}i}{128}$$

-24\sqrt{5}+8i\sqrt{87} 除以 128。

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}。 從 -24\sqrt{5} 減去 8i\sqrt{87}。

$$x=\frac{-8\sqrt{87}i-24\sqrt{5}}{128}$$

-24\sqrt{5}-8i\sqrt{87} 除以 128。

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

從方程式兩邊減去 33。

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33-33=-33$$

從 33 減去本身會剩下 0。

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x=-33$$

將兩邊同時除以 64。

$$\frac{64x^{2}+24\sqrt{5}x}{64}=-\frac{33}{64}$$

除以 64 可以取消乘以 64 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{64}x=-\frac{33}{64}$$

24\sqrt{5} 除以 64。

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x=-\frac{33}{64}$$

將 \frac{3\sqrt{5}}{8} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{3\sqrt{5}}{16}。接著，將 \frac{3\sqrt{5}}{16} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{64}+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}$$

對 \frac{3\sqrt{5}}{16} 平方。

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{33}{64}+\frac{45}{256}$$

將 -\frac{33}{64} 與 \frac{45}{256} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{87}{256}$$

因數分解 x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{87}{256}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{256}}$$

化簡。

$$x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{87}i}{16} x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=-\frac{\sqrt{87}i}{16}$$

從方程式兩邊減去 \frac{3\sqrt{5}}{16}。

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$