解決6x-9y=-1,-2x+y=1 |Microsoft數學求解器

$$6 x - 9 y = - 1 , - 2 x + y = 1$$

解 x、y

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x-9y=-1,-2x+y=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x-9y=-1$$

將 9y 加到方程式的兩邊。

$$6x=9y-1$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(9y-1\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 9y-1。

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{6}$$

在另一個方程式 -2x+y=1 中以 \frac{3y}{2}-\frac{1}{6} 代入 x在方程式。

$$-2\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{6}\right)+y=1$$

-2 乘上 \frac{3y}{2}-\frac{1}{6}。

$$-3y+\frac{1}{3}+y=1$$

將 -3y 加到 y。

$$-2y+\frac{1}{3}=1$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{3}。

$$-2y=\frac{2}{3}$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=-\frac{1}{3}$$

在 x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{6} 中以 -\frac{1}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{6}$$

\frac{3}{2} 乘上 -\frac{1}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}$$

將 -\frac{1}{6} 與 -\frac{1}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{2}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x-9y=-1,-2x+y=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}&-\frac{-9}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}&\frac{6}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-1\right)-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{6}\left(-1\right)-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x-9y=-1,-2x+y=1$$

讓 6x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$-2\times 6x-2\left(-9\right)y=-2\left(-1\right),6\left(-2\right)x+6y=6$$

化簡。

$$-12x+18y=2,-12x+6y=6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -12x+18y=2 減去 -12x+6y=6。

$$-12x+12x+18y-6y=2-6$$

將 -12x 加到 12x。 -12x 和 12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$18y-6y=2-6$$

將 18y 加到 -6y。

$$12y=2-6$$

將 2 加到 -6。

$$12y=-4$$

將兩邊同時除以 12。

$$y=-\frac{1}{3}$$

在 -2x+y=1 中以 -\frac{1}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x-\frac{1}{3}=1$$

將 \frac{1}{3} 加到方程式的兩邊。

$$-2x=\frac{4}{3}$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=-\frac{2}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$