解決6x-3y=10,-3x=6y+5 |Microsoft數學求解器

$$6 x - 3 y = 10 , - 3 x = 6 y + 5$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 6y。

$$-3x-6y=5$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x-3y=10,-3x-6y=5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x-3y=10$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$6x=3y+10$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(3y+10\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 3y+10。

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{3}$$

在另一個方程式 -3x-6y=5 中以 \frac{y}{2}+\frac{5}{3} 代入 x在方程式。

$$-3\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{3}\right)-6y=5$$

-3 乘上 \frac{y}{2}+\frac{5}{3}。

$$-\frac{3}{2}y-5-6y=5$$

將 -\frac{3y}{2} 加到 -6y。

$$-\frac{15}{2}y-5=5$$

將 5 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{15}{2}y=10$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{15}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{4}{3}$$

在 x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{3} 中以 -\frac{4}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{3}\right)+\frac{5}{3}$$

\frac{1}{2} 乘上 -\frac{4}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{-2+5}{3}$$

將 \frac{5}{3} 與 -\frac{2}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-\frac{4}{3}$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 6y。

$$-3x-6y=5$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x-3y=10,-3x-6y=5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&-3\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&-3\\-3&-6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-3\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{6\left(-6\right)-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{6\left(-6\right)-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{6\left(-6\right)-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-6\right)-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\\-\frac{1}{15}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 10-\frac{1}{15}\times 5\\-\frac{1}{15}\times 10-\frac{2}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=-\frac{4}{3}$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 6y。

$$-3x-6y=5$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x-3y=10,-3x-6y=5$$

讓 6x 和 -3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$-3\times 6x-3\left(-3\right)y=-3\times 10,6\left(-3\right)x+6\left(-6\right)y=6\times 5$$

化簡。

$$-18x+9y=-30,-18x-36y=30$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -18x+9y=-30 減去 -18x-36y=30。

$$-18x+18x+9y+36y=-30-30$$

將 -18x 加到 18x。 -18x 和 18x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$9y+36y=-30-30$$

將 9y 加到 36y。

$$45y=-30-30$$

將 -30 加到 -30。

$$45y=-60$$

將兩邊同時除以 45。

$$y=-\frac{4}{3}$$

在 -3x-6y=5 中以 -\frac{4}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-3x-6\left(-\frac{4}{3}\right)=5$$

-6 乘上 -\frac{4}{3}。

$$-3x+8=5$$

從方程式兩邊減去 8。

$$-3x=-3$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-\frac{4}{3}$$