解決6x^2-x=40 |Microsoft數學求解器

$$6 x ^ { 2 } - x = 40$$

解 x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

使用依分組因數分解的步驟

從兩邊減去 40。

$$6x^{2}-x-40=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 6x^{2}+ax+bx-40。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-1 ab=6\left(-40\right)=-240$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -240 的所有此類整數組合。

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

計算每個組合的總和。

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

該解為總和為 -1 的組合。

$$a=-16 b=15$$

將 6x^{2}-x-40 重寫為 \left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)。

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)$$

對第一個與第二個群組中的 5 進行 2x 因式分解。

$$2x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 3x-8。

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 3x-8=0 和 2x+5=0。

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$6x^{2}-x=40$$

從方程式兩邊減去 40。

$$6x^{2}-x-40=40-40$$

從 40 減去本身會剩下 0。

$$6x^{2}-x-40=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 6 代入 a，將 -1 代入 b，以及將 -40 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

-4 乘上 6。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

-24 乘上 -40。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 6}$$

將 1 加到 960。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

取 961 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 6}$$

-1 的相反數是 1。

$$x=\frac{1±31}{2\times 6}$$

2 乘上 6。

$$x=\frac{1±31}{12}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{1±31}{12}。 將 1 加到 31。

$$x=\frac{32}{12}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{32}{12} 約分至最低項。

$$x=\frac{8}{3}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{1±31}{12}。 從 1 減去 31。

$$x=-\frac{30}{12}$$

透過找出與消去 6，對分式 \frac{-30}{12} 約分至最低項。

$$x=-\frac{5}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$6x^{2}-x=40$$

將兩邊同時除以 6。

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{40}{6}$$

除以 6 可以取消乘以 6 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{40}{6}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{40}{6} 約分至最低項。

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{20}{3}$$

將 -\frac{1}{6} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{12}。接著，將 -\frac{1}{12} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{20}{3}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

-\frac{1}{12} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{20}{3}+\frac{1}{144}$$

將 \frac{20}{3} 與 \frac{1}{144} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{961}{144}$$

因數分解 x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{961}{144}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{144}}$$

化簡。

$$x-\frac{1}{12}=\frac{31}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{31}{12}$$

將 \frac{1}{12} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$