Solve 6x^2-3x-45

$$6 x ^ { 2 } - 3 x - 45$$

因式分解

$$3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

解題步驟

因式分解 3。

$$3\left(2x^{2}-x-15\right)$$

請考慮 2x^{2}-x-15。 分組對運算式進行因數分解。首先，運算式必須重寫為 2x^{2}+ax+bx-15。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -30 的所有此類整數組合。

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

計算每個組合的總和。

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

該解為總和為 -1 的組合。

$$a=-6 b=5$$

將 2x^{2}-x-15 重寫為 \left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)。

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)$$

對第一個與第二個群組中的 5 進行 2x 因式分解。

$$2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-3。

$$\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

重寫完整因數分解過的運算式。

$$3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

使用二次方程式公式的步驟

可以使用 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 這個轉換方式來因數分解二次多項式，其中 x_{1} 與 x_{2} 是二次方程式 ax^{2}+bx+c=0 的解。

$$6x^{2}-3x-45=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 6\left(-45\right)}}{2\times 6}$$

對 -3 平方。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 6\left(-45\right)}}{2\times 6}$$

-4 乘上 6。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-24\left(-45\right)}}{2\times 6}$$

-24 乘上 -45。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+1080}}{2\times 6}$$

將 9 加到 1080。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1089}}{2\times 6}$$

取 1089 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±33}{2\times 6}$$

-3 的相反數是 3。

$$x=\frac{3±33}{2\times 6}$$

2 乘上 6。

$$x=\frac{3±33}{12}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{3±33}{12}。 將 3 加到 33。

$$x=\frac{36}{12}$$

36 除以 12。

$$x=3$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{3±33}{12}。 從 3 減去 33。

$$x=-\frac{30}{12}$$

透過找出與消去 6，對分式 \frac{-30}{12} 約分至最低項。

$$x=-\frac{5}{2}$$

使用 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 來因數分解原始的運算式。將 3 代入 x_{1} 並將 -\frac{5}{2} 代入 x_{2}。

$$6x^{2}-3x-45=6\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

將 p-\left(-q\right) 形式的所有運算式化簡為 p+q。

$$6x^{2}-3x-45=6\left(x-3\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

將 \frac{5}{2} 與 x 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$6x^{2}-3x-45=6\left(x-3\right)\times \frac{2x+5}{2}$$

在 6 和 2 中同時消去最大公因數 2。

$$6x^{2}-3x-45=3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

評估

$$3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$