解決6x^2-14x-9=0 |Microsoft數學求解器

$$6 x ^ { 2 } - 14 x - 9 = 0$$

解 x

$$x = \frac{\sqrt{103} + 7}{6} \approx 2.858148594$$

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}\approx -0.524815261$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$6x^{2}-14x-9=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 6 代入 a，將 -14 代入 b，以及將 -9 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

對 -14 平方。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

-4 乘上 6。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

-24 乘上 -9。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+216}}{2\times 6}$$

將 196 加到 216。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{412}}{2\times 6}$$

取 412 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

-14 的相反數是 14。

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

2 乘上 6。

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12}。 將 14 加到 2\sqrt{103}。

$$x=\frac{2\sqrt{103}+14}{12}$$

14+2\sqrt{103} 除以 12。

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12}。 從 14 減去 2\sqrt{103}。

$$x=\frac{14-2\sqrt{103}}{12}$$

14-2\sqrt{103} 除以 12。

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$6x^{2}-14x-9=0$$

將 9 加到方程式的兩邊。

$$6x^{2}-14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

從 -9 減去本身會剩下 0。

$$6x^{2}-14x=-\left(-9\right)$$

從 0 減去 -9。

$$6x^{2}-14x=9$$

將兩邊同時除以 6。

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{9}{6}$$

除以 6 可以取消乘以 6 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{9}{6}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-14}{6} 約分至最低項。

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{9}{6}$$

透過找出與消去 3，對分式 \frac{9}{6} 約分至最低項。

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{3}{2}$$

將 -\frac{7}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{7}{6}。接著，將 -\frac{7}{6} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

-\frac{7}{6} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{3}{2}+\frac{49}{36}$$

將 \frac{3}{2} 與 \frac{49}{36} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{103}{36}$$

因數分解 x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{103}{36}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{103}{36}}$$

化簡。

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{103}}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{103}}{6}$$

將 \frac{7}{6} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$