解決6n^2+11n+2=4 |Microsoft數學求解器

$$6 n ^ { 2 } + 11 n + 2 = 4$$

解 n

$$n=-2$$

$$n=\frac{1}{6}\approx 0.166666667$$

使用依分組因數分解的步驟

從兩邊減去 4。

$$6n^{2}+11n+2-4=0$$

從 2 減去 4 會得到 -2。

$$6n^{2}+11n-2=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 6n^{2}+an+bn-2。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=11 ab=6\left(-2\right)=-12$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -12 的所有此類整數組合。

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

計算每個組合的總和。

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

該解的總和為 11。

$$a=-1 b=12$$

將 6n^{2}+11n-2 重寫為 \left(6n^{2}-n\right)+\left(12n-2\right)。

$$\left(6n^{2}-n\right)+\left(12n-2\right)$$

在第一個組因式分解是 n，且第二個組是 2。

$$n\left(6n-1\right)+2\left(6n-1\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 6n-1。

$$\left(6n-1\right)\left(n+2\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 6n-1=0 並 n+2=0。

$$n=\frac{1}{6} n=-2$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$6n^{2}+11n+2=4$$

從方程式兩邊減去 4。

$$6n^{2}+11n+2-4=4-4$$

從 4 減去本身會剩下 0。

$$6n^{2}+11n+2-4=0$$

從 2 減去 4。

$$6n^{2}+11n-2=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 6 代入 a，將 11 代入 b，以及將 -2 代入 c。

$$n=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\left(-2\right)}}{2\times 6}$$

對 11 平方。

$$n=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\left(-2\right)}}{2\times 6}$$

-4 乘上 6。

$$n=\frac{-11±\sqrt{121-24\left(-2\right)}}{2\times 6}$$

-24 乘上 -2。

$$n=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\times 6}$$

將 121 加到 48。

$$n=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

取 169 的平方根。

$$n=\frac{-11±13}{2\times 6}$$

2 乘上 6。

$$n=\frac{-11±13}{12}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 n=\frac{-11±13}{12}。 將 -11 加到 13。

$$n=\frac{2}{12}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{2}{12} 約分至最低項。

$$n=\frac{1}{6}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 n=\frac{-11±13}{12}。 從 -11 減去 13。

$$n=-\frac{24}{12}$$

-24 除以 12。

$$n=-2$$

現已成功解出方程式。

$$n=\frac{1}{6} n=-2$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$6n^{2}+11n+2=4$$

從方程式兩邊減去 2。

$$6n^{2}+11n+2-2=4-2$$

從 2 減去本身會剩下 0。

$$6n^{2}+11n=4-2$$

從 4 減去 2。

$$6n^{2}+11n=2$$

將兩邊同時除以 6。

$$\frac{6n^{2}+11n}{6}=\frac{2}{6}$$

除以 6 可以取消乘以 6 造成的效果。

$$n^{2}+\frac{11}{6}n=\frac{2}{6}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{2}{6} 約分至最低項。

$$n^{2}+\frac{11}{6}n=\frac{1}{3}$$

將 \frac{11}{6} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{11}{12}。接著，將 \frac{11}{12} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$n^{2}+\frac{11}{6}n+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

\frac{11}{12} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$n^{2}+\frac{11}{6}n+\frac{121}{144}=\frac{1}{3}+\frac{121}{144}$$

將 \frac{1}{3} 與 \frac{121}{144} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$n^{2}+\frac{11}{6}n+\frac{121}{144}=\frac{169}{144}$$

因數分解 n^{2}+\frac{11}{6}n+\frac{121}{144}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(n+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(n+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

化簡。

$$n+\frac{11}{12}=\frac{13}{12} n+\frac{11}{12}=-\frac{13}{12}$$

從方程式兩邊減去 \frac{11}{12}。

$$n=\frac{1}{6} n=-2$$