Solve 6x^2-32x+10

$$6 { x }^{ 2 } -32x+10$$

因式分解

$$2\left(x-5\right)\left(3x-1\right)$$

解題步驟

因式分解 2。

$$2\left(3x^{2}-16x+5\right)$$

請考慮 3x^{2}-16x+5。 分組對運算式進行因數分解。首先，運算式必須重寫為 3x^{2}+ax+bx+5。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-16 ab=3\times 5=15$$

因為 ab 為正數, a 且 b 具有相同的符號。 因為 a+b 為負值, a 且 b 均為負數。 列出乘積為 15 的所有此類整數組合。

$$-1,-15 -3,-5$$

計算每個組合的總和。

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

該解為總和為 -16 的組合。

$$a=-15 b=-1$$

將 3x^{2}-16x+5 重寫為 \left(3x^{2}-15x\right)+\left(-x+5\right)。

$$\left(3x^{2}-15x\right)+\left(-x+5\right)$$

對第一個與第二個群組中的 -1 進行 3x 因式分解。

$$3x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-5。

$$\left(x-5\right)\left(3x-1\right)$$

重寫完整因數分解過的運算式。

$$2\left(x-5\right)\left(3x-1\right)$$

使用二次方程式公式的步驟

可以使用 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 這個轉換方式來因數分解二次多項式，其中 x_{1} 與 x_{2} 是二次方程式 ax^{2}+bx+c=0 的解。

$$6x^{2}-32x+10=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

對 -32 平方。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

-4 乘上 6。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-24\times 10}}{2\times 6}$$

-24 乘上 10。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-240}}{2\times 6}$$

將 1024 加到 -240。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{784}}{2\times 6}$$

取 784 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±28}{2\times 6}$$

-32 的相反數是 32。

$$x=\frac{32±28}{2\times 6}$$

2 乘上 6。

$$x=\frac{32±28}{12}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{32±28}{12}。 將 32 加到 28。

$$x=\frac{60}{12}$$

60 除以 12。

$$x=5$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{32±28}{12}。 從 32 減去 28。

$$x=\frac{4}{12}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{4}{12} 約分至最低項。

$$x=\frac{1}{3}$$

使用 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 來因數分解原始的運算式。將 5 代入 x_{1} 並將 \frac{1}{3} 代入 x_{2}。

$$6x^{2}-32x+10=6\left(x-5\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)$$

從 x 減去 \frac{1}{3} 的算法: 先通分，接著將分子相減，然後化為最簡分式。

$$6x^{2}-32x+10=6\left(x-5\right)\times \frac{3x-1}{3}$$

在 6 和 3 中同時消去最大公因數 3。

$$6x^{2}-32x+10=2\left(x-5\right)\left(3x-1\right)$$

評估

$$2\left(x-5\right)\left(3x-1\right)$$