解決54(1+x)(1+x)=1215 |Microsoft數學求解器

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

解 x

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3.74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5.74341649$$

使用二次方程式公式的步驟

將 1+x 乘上 1+x 得到 \left(1+x\right)^{2}。

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(1+x\right)^{2}。

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

計算 54 乘上 1+2x+x^{2} 時使用乘法分配律。

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

從兩邊減去 1215。

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

從 54 減去 1215 會得到 -1161。

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 54 代入 a，將 108 代入 b，以及將 -1161 代入 c。

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

對 108 平方。

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

-4 乘上 54。

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

-216 乘上 -1161。

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

將 11664 加到 250776。

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

取 262440 的平方根。

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

2 乘上 54。

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}。 將 -108 加到 162\sqrt{10}。

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

-108+162\sqrt{10} 除以 108。

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}。 從 -108 減去 162\sqrt{10}。

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

-108-162\sqrt{10} 除以 108。

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

配方法的步驟

將 1+x 乘上 1+x 得到 \left(1+x\right)^{2}。

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(1+x\right)^{2}。

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

計算 54 乘上 1+2x+x^{2} 時使用乘法分配律。

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

從兩邊減去 54。

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

從 1215 減去 54 會得到 1161。

$$108x+54x^{2}=1161$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$54x^{2}+108x=1161$$

將兩邊同時除以 54。

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

除以 54 可以取消乘以 54 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

108 除以 54。

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

透過找出與消去 27，對分式 \frac{1161}{54} 約分至最低項。

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

將 2 (x 項的係數) 除以 2 可得到 1。接著，將 1 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

對 1 平方。

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

將 \frac{43}{2} 加到 1。

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

因數分解 x^{2}+2x+1。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

化簡。

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

從方程式兩邊減去 1。

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$