Solve 5-x^2+3x=12

$$5- { x }^{ 2 } +3x=12$$

解 x (復數求解)

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}\approx 1.5-2.179449472i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}\approx 1.5+2.179449472i$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-x^{2}+3x+5=12$$

從方程式兩邊減去 12。

$$-x^{2}+3x+5-12=12-12$$

從 12 減去本身會剩下 0。

$$-x^{2}+3x+5-12=0$$

從 5 減去 12。

$$-x^{2}+3x-7=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -1 代入 a，將 3 代入 b，以及將 -7 代入 c。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

對 3 平方。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 乘上 -1。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 乘上 -7。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-28}}{2\left(-1\right)}$$

將 9 加到 -28。

$$x=\frac{-3±\sqrt{-19}}{2\left(-1\right)}$$

取 -19 的平方根。

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2\left(-1\right)}$$

2 乘上 -1。

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}。 將 -3 加到 i\sqrt{19}。

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{-2}$$

-3+i\sqrt{19} 除以 -2。

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}。 從 -3 減去 i\sqrt{19}。

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{-2}$$

-3-i\sqrt{19} 除以 -2。

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2} x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-x^{2}+3x+5=12$$

從方程式兩邊減去 5。

$$-x^{2}+3x+5-5=12-5$$

從 5 減去本身會剩下 0。

$$-x^{2}+3x=12-5$$

從 12 減去 5。

$$-x^{2}+3x=7$$

將兩邊同時除以 -1。

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{7}{-1}$$

除以 -1 可以取消乘以 -1 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{7}{-1}$$

3 除以 -1。

$$x^{2}-3x=\frac{7}{-1}$$

7 除以 -1。

$$x^{2}-3x=-7$$

將 -3 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{3}{2}。接著，將 -\frac{3}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

-\frac{3}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-7+\frac{9}{4}$$

將 -7 加到 \frac{9}{4}。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

因數分解 x^{2}-3x+\frac{9}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

化簡。

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

將 \frac{3}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$