解決5y^2-3y-36=0 |Microsoft數學求解器

$$5 y ^ { 2 } - 3 y - 36 = 0$$

解 y

$$y = -\frac{12}{5} = -2\frac{2}{5} = -2.4$$

$$y=3$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 5y^{2}+ay+by-36。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-3 ab=5\left(-36\right)=-180$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -180 的所有此類整數組合。

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

計算每個組合的總和。

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

該解的總和為 -3。

$$a=-15 b=12$$

將 5y^{2}-3y-36 重寫為 \left(5y^{2}-15y\right)+\left(12y-36\right)。

$$\left(5y^{2}-15y\right)+\left(12y-36\right)$$

在第一個組因式分解是 5y，且第二個組是 12。

$$5y\left(y-3\right)+12\left(y-3\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 y-3。

$$\left(y-3\right)\left(5y+12\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 y-3=0 並 5y+12=0。

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$5y^{2}-3y-36=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 5 代入 a，將 -3 代入 b，以及將 -36 代入 c。

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

對 -3 平方。

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

-4 乘上 5。

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

-20 乘上 -36。

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+720}}{2\times 5}$$

將 9 加到 720。

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{729}}{2\times 5}$$

取 729 的平方根。

$$y=\frac{-\left(-3\right)±27}{2\times 5}$$

-3 的相反數是 3。

$$y=\frac{3±27}{2\times 5}$$

2 乘上 5。

$$y=\frac{3±27}{10}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 y=\frac{3±27}{10}。 將 3 加到 27。

$$y=\frac{30}{10}$$

30 除以 10。

$$y=3$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 y=\frac{3±27}{10}。 從 3 減去 27。

$$y=-\frac{24}{10}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-24}{10} 約分至最低項。

$$y=-\frac{12}{5}$$

現已成功解出方程式。

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$5y^{2}-3y-36=0$$

將 36 加到方程式的兩邊。

$$5y^{2}-3y-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

從 -36 減去本身會剩下 0。

$$5y^{2}-3y=-\left(-36\right)$$

從 0 減去 -36。

$$5y^{2}-3y=36$$

將兩邊同時除以 5。

$$\frac{5y^{2}-3y}{5}=\frac{36}{5}$$

除以 5 可以取消乘以 5 造成的效果。

$$y^{2}-\frac{3}{5}y=\frac{36}{5}$$

將 -\frac{3}{5} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{3}{10}。接著，將 -\frac{3}{10} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{36}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

-\frac{3}{10} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{36}{5}+\frac{9}{100}$$

將 \frac{36}{5} 與 \frac{9}{100} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{729}{100}$$

因數分解 y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{729}{100}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{100}}$$

化簡。

$$y-\frac{3}{10}=\frac{27}{10} y-\frac{3}{10}=-\frac{27}{10}$$

將 \frac{3}{10} 加到方程式的兩邊。

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$