解決5y+9y^2-4y^2+6(5y+9)y=-12 |Microsoft數學求解器

$$5 y + 9 y ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } + 6 ( 5 y + 9 ) y = - 12$$

解 y

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70}\approx -0.236597281$$

$$y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}\approx -1.449117005$$

使用二次方程式公式的步驟

合併 9y^{2} 和 -4y^{2} 以取得 5y^{2}。

$$5y+5y^{2}+6\left(5y+9\right)y=-12$$

計算 6 乘上 5y+9 時使用乘法分配律。

$$5y+5y^{2}+\left(30y+54\right)y=-12$$

計算 30y+54 乘上 y 時使用乘法分配律。

$$5y+5y^{2}+30y^{2}+54y=-12$$

合併 5y^{2} 和 30y^{2} 以取得 35y^{2}。

$$5y+35y^{2}+54y=-12$$

合併 5y 和 54y 以取得 59y。

$$59y+35y^{2}=-12$$

新增 12 至兩側。

$$59y+35y^{2}+12=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$35y^{2}+59y+12=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 35 代入 a，將 59 代入 b，以及將 12 代入 c。

$$y=\frac{-59±\sqrt{59^{2}-4\times 35\times 12}}{2\times 35}$$

對 59 平方。

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-4\times 35\times 12}}{2\times 35}$$

-4 乘上 35。

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-140\times 12}}{2\times 35}$$

-140 乘上 12。

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-1680}}{2\times 35}$$

將 3481 加到 -1680。

$$y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{2\times 35}$$

2 乘上 35。

$$y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70}。 將 -59 加到 \sqrt{1801}。

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70}。 從 -59 減去 \sqrt{1801}。

$$y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$

現已成功解出方程式。

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70} y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$

配方法的步驟

合併 9y^{2} 和 -4y^{2} 以取得 5y^{2}。

$$5y+5y^{2}+6\left(5y+9\right)y=-12$$

計算 6 乘上 5y+9 時使用乘法分配律。

$$5y+5y^{2}+\left(30y+54\right)y=-12$$

計算 30y+54 乘上 y 時使用乘法分配律。

$$5y+5y^{2}+30y^{2}+54y=-12$$

合併 5y^{2} 和 30y^{2} 以取得 35y^{2}。

$$5y+35y^{2}+54y=-12$$

合併 5y 和 54y 以取得 59y。

$$59y+35y^{2}=-12$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$35y^{2}+59y=-12$$

將兩邊同時除以 35。

$$\frac{35y^{2}+59y}{35}=-\frac{12}{35}$$

除以 35 可以取消乘以 35 造成的效果。

$$y^{2}+\frac{59}{35}y=-\frac{12}{35}$$

將 \frac{59}{35} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{59}{70}。接著，將 \frac{59}{70} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\left(\frac{59}{70}\right)^{2}=-\frac{12}{35}+\left(\frac{59}{70}\right)^{2}$$

\frac{59}{70} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}=-\frac{12}{35}+\frac{3481}{4900}$$

將 -\frac{12}{35} 與 \frac{3481}{4900} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}=\frac{1801}{4900}$$

因數分解 y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(y+\frac{59}{70}\right)^{2}=\frac{1801}{4900}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(y+\frac{59}{70}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1801}{4900}}$$

化簡。

$$y+\frac{59}{70}=\frac{\sqrt{1801}}{70} y+\frac{59}{70}=-\frac{\sqrt{1801}}{70}$$

從方程式兩邊減去 \frac{59}{70}。

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70} y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$