解決5x-2y=1;3x+5y=13 |Microsoft數學求解器

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-2y=1$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$5x=2y+1$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 2y+1。

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

在另一個方程式 3x+5y=13 中以 \frac{2y+1}{5} 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

3 乘上 \frac{2y+1}{5}。

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

將 \frac{6y}{5} 加到 5y。

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{5}。

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{31}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=2$$

在 x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

\frac{2}{5} 乘上 2。

$$x=\frac{4+1}{5}$$

將 \frac{1}{5} 與 \frac{4}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

讓 5x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

化簡。

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x-6y=3 減去 15x+25y=65。

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-6y-25y=3-65$$

將 -6y 加到 -25y。

$$-31y=3-65$$

將 3 加到 -65。

$$-31y=-62$$

將兩邊同時除以 -31。

$$y=2$$

在 3x+5y=13 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+5\times 2=13$$

5 乘上 2。

$$3x+10=13$$

從方程式兩邊減去 10。

$$3x=3$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=2$$