解決5x^2-x-120=0 |Microsoft數學求解器

$$5 x ^ { 2 } - x - 120 = 0$$

解 x

$$x = -\frac{24}{5} = -4\frac{4}{5} = -4.8$$

$$x=5$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 5x^{2}+ax+bx-120。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-1 ab=5\left(-120\right)=-600$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -600 的所有此類整數組合。

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

計算每個組合的總和。

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

該解的總和為 -1。

$$a=-25 b=24$$

將 5x^{2}-x-120 重寫為 \left(5x^{2}-25x\right)+\left(24x-120\right)。

$$\left(5x^{2}-25x\right)+\left(24x-120\right)$$

在第一個組因式分解是 5x，且第二個組是 24。

$$5x\left(x-5\right)+24\left(x-5\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-5。

$$\left(x-5\right)\left(5x+24\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-5=0 並 5x+24=0。

$$x=5 x=-\frac{24}{5}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$5x^{2}-x-120=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 5 代入 a，將 -1 代入 b，以及將 -120 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-120\right)}}{2\times 5}$$

-4 乘上 5。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-120\right)}}{2\times 5}$$

-20 乘上 -120。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+2400}}{2\times 5}$$

將 1 加到 2400。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{2401}}{2\times 5}$$

取 2401 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±49}{2\times 5}$$

-1 的相反數是 1。

$$x=\frac{1±49}{2\times 5}$$

2 乘上 5。

$$x=\frac{1±49}{10}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{1±49}{10}。 將 1 加到 49。

$$x=\frac{50}{10}$$

50 除以 10。

$$x=5$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{1±49}{10}。 從 1 減去 49。

$$x=-\frac{48}{10}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-48}{10} 約分至最低項。

$$x=-\frac{24}{5}$$

現已成功解出方程式。

$$x=5 x=-\frac{24}{5}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$5x^{2}-x-120=0$$

將 120 加到方程式的兩邊。

$$5x^{2}-x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

從 -120 減去本身會剩下 0。

$$5x^{2}-x=-\left(-120\right)$$

從 0 減去 -120。

$$5x^{2}-x=120$$

將兩邊同時除以 5。

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{120}{5}$$

除以 5 可以取消乘以 5 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{120}{5}$$

120 除以 5。

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=24$$

將 -\frac{1}{5} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{10}。接著，將 -\frac{1}{10} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=24+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

-\frac{1}{10} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=24+\frac{1}{100}$$

將 24 加到 \frac{1}{100}。

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2401}{100}$$

因數分解 x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2401}{100}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{100}}$$

化簡。

$$x-\frac{1}{10}=\frac{49}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{49}{10}$$

將 \frac{1}{10} 加到方程式的兩邊。

$$x=5 x=-\frac{24}{5}$$