Solve 5x^2-8x+3=0

$$5 x ^ { 2 } - 8 x + 3 = 0$$

解 x

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 5x^{2}+ax+bx+3。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-8 ab=5\times 3=15$$

因為 ab 為正數, a 且 b 具有相同的符號。 因為 a+b 為負值, a 且 b 均為負數。 列出乘積為 15 的所有此類整數組合。

$$-1,-15 -3,-5$$

計算每個組合的總和。

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

該解為總和為 -8 的組合。

$$a=-5 b=-3$$

將 5x^{2}-8x+3 重寫為 \left(5x^{2}-5x\right)+\left(-3x+3\right)。

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(-3x+3\right)$$

對第一個與第二個群組中的 -3 進行 5x 因式分解。

$$5x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-1。

$$\left(x-1\right)\left(5x-3\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-1=0 和 5x-3=0。

$$x=1 x=\frac{3}{5}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$5x^{2}-8x+3=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 5 代入 a，將 -8 代入 b，以及將 3 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

對 -8 平方。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

-4 乘上 5。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-20\times 3}}{2\times 5}$$

-20 乘上 3。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 5}$$

將 64 加到 -60。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 5}$$

取 4 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 5}$$

-8 的相反數是 8。

$$x=\frac{8±2}{2\times 5}$$

2 乘上 5。

$$x=\frac{8±2}{10}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{8±2}{10}。 將 8 加到 2。

$$x=\frac{10}{10}$$

10 除以 10。

$$x=1$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{8±2}{10}。 從 8 減去 2。

$$x=\frac{6}{10}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{6}{10} 約分至最低項。

$$x=\frac{3}{5}$$

現已成功解出方程式。

$$x=1 x=\frac{3}{5}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$5x^{2}-8x+3=0$$

從方程式兩邊減去 3。

$$5x^{2}-8x+3-3=-3$$

從 3 減去本身會剩下 0。

$$5x^{2}-8x=-3$$

將兩邊同時除以 5。

$$\frac{5x^{2}-8x}{5}=-\frac{3}{5}$$

除以 5 可以取消乘以 5 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{3}{5}$$

將 -\frac{8}{5} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{4}{5}。接著，將 -\frac{4}{5} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

-\frac{4}{5} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{16}{25}$$

將 -\frac{3}{5} 與 \frac{16}{25} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{1}{25}$$

因數分解 x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{1}{25}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{25}}$$

化簡。

$$x-\frac{4}{5}=\frac{1}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{1}{5}$$

將 \frac{4}{5} 加到方程式的兩邊。

$$x=1 x=\frac{3}{5}$$