解決5x^2-7x=24 |Microsoft數學求解器

$$5 x ^ { 2 } - 7 x = 24$$

解 x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$x=3$$

使用依分組因數分解的步驟

從兩邊減去 24。

$$5x^{2}-7x-24=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 5x^{2}+ax+bx-24。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-7 ab=5\left(-24\right)=-120$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -120 的所有此類整數組合。

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

計算每個組合的總和。

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

該解的總和為 -7。

$$a=-15 b=8$$

將 5x^{2}-7x-24 重寫為 \left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)。

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)$$

在第一個組因式分解是 5x，且第二個組是 8。

$$5x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-3。

$$\left(x-3\right)\left(5x+8\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-3=0 並 5x+8=0。

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$5x^{2}-7x=24$$

從方程式兩邊減去 24。

$$5x^{2}-7x-24=24-24$$

從 24 減去本身會剩下 0。

$$5x^{2}-7x-24=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 5 代入 a，將 -7 代入 b，以及將 -24 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

對 -7 平方。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

-4 乘上 5。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

-20 乘上 -24。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 5}$$

將 49 加到 480。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

取 529 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 5}$$

-7 的相反數是 7。

$$x=\frac{7±23}{2\times 5}$$

2 乘上 5。

$$x=\frac{7±23}{10}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{7±23}{10}。 將 7 加到 23。

$$x=\frac{30}{10}$$

30 除以 10。

$$x=3$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{7±23}{10}。 從 7 減去 23。

$$x=-\frac{16}{10}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-16}{10} 約分至最低項。

$$x=-\frac{8}{5}$$

現已成功解出方程式。

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$5x^{2}-7x=24$$

將兩邊同時除以 5。

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{24}{5}$$

除以 5 可以取消乘以 5 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{24}{5}$$

將 -\frac{7}{5} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{7}{10}。接著，將 -\frac{7}{10} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

-\frac{7}{10} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{24}{5}+\frac{49}{100}$$

將 \frac{24}{5} 與 \frac{49}{100} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{529}{100}$$

因數分解 x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

化簡。

$$x-\frac{7}{10}=\frac{23}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{23}{10}$$

將 \frac{7}{10} 加到方程式的兩邊。

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$