解決5x^2+3x+1=0 |Microsoft數學求解器

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

解 x (復數求解)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0.3+0.331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0.3-0.331662479i$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$5x^{2}+3x+1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 5 代入 a，將 3 代入 b，以及將 1 代入 c。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

對 3 平方。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

-4 乘上 5。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

將 9 加到 -20。

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

取 -11 的平方根。

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

2 乘上 5。

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}。 將 -3 加到 i\sqrt{11}。

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}。 從 -3 減去 i\sqrt{11}。

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$5x^{2}+3x+1=0$$

從方程式兩邊減去 1。

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

從 1 減去本身會剩下 0。

$$5x^{2}+3x=-1$$

將兩邊同時除以 5。

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

除以 5 可以取消乘以 5 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

將 \frac{3}{5} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{3}{10}。接著，將 \frac{3}{10} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

\frac{3}{10} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

將 -\frac{1}{5} 與 \frac{9}{100} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

因數分解 x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

化簡。

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{10}。

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$