解決5t^2-72t-108=0 |Microsoft數學求解器

$$5 t ^ { 2 } - 72 t - 108 = 0$$

解 t

$$t = \frac{6 \sqrt{51} + 36}{5} \approx 15.769714114$$

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}\approx -1.369714114$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$5t^{2}-72t-108=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 5 代入 a，將 -72 代入 b，以及將 -108 代入 c。

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

對 -72 平方。

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

-4 乘上 5。

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-20\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

-20 乘上 -108。

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184+2160}}{2\times 5}$$

將 5184 加到 2160。

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{7344}}{2\times 5}$$

取 7344 的平方根。

$$t=\frac{-\left(-72\right)±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

-72 的相反數是 72。

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

2 乘上 5。

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}。 將 72 加到 12\sqrt{51}。

$$t=\frac{12\sqrt{51}+72}{10}$$

72+12\sqrt{51} 除以 10。

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}。 從 72 減去 12\sqrt{51}。

$$t=\frac{72-12\sqrt{51}}{10}$$

72-12\sqrt{51} 除以 10。

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

現已成功解出方程式。

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$5t^{2}-72t-108=0$$

將 108 加到方程式的兩邊。

$$5t^{2}-72t-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

從 -108 減去本身會剩下 0。

$$5t^{2}-72t=-\left(-108\right)$$

從 0 減去 -108。

$$5t^{2}-72t=108$$

將兩邊同時除以 5。

$$\frac{5t^{2}-72t}{5}=\frac{108}{5}$$

除以 5 可以取消乘以 5 造成的效果。

$$t^{2}-\frac{72}{5}t=\frac{108}{5}$$

將 -\frac{72}{5} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{36}{5}。接著，將 -\frac{36}{5} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{108}{5}+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}$$

-\frac{36}{5} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{108}{5}+\frac{1296}{25}$$

將 \frac{108}{5} 與 \frac{1296}{25} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{1836}{25}$$

因數分解 t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{1836}{25}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1836}{25}}$$

化簡。

$$t-\frac{36}{5}=\frac{6\sqrt{51}}{5} t-\frac{36}{5}=-\frac{6\sqrt{51}}{5}$$

將 \frac{36}{5} 加到方程式的兩邊。

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$