解決5(t)=7t^2+t^2-4 |Microsoft數學求解器

$$5 ( t ) = 7 t ^ { 2 } + t ^ { 2 } - 4$$

解 t

$$t = \frac{3 \sqrt{17} + 5}{16} \approx 1.085582305$$

$$t=\frac{5-3\sqrt{17}}{16}\approx -0.460582305$$

使用二次方程式公式的步驟

合併 7t^{2} 和 t^{2} 以取得 8t^{2}。

$$5t=8t^{2}-4$$

從兩邊減去 8t^{2}。

$$5t-8t^{2}=-4$$

新增 4 至兩側。

$$5t-8t^{2}+4=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-8t^{2}+5t+4=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -8 代入 a，將 5 代入 b，以及將 4 代入 c。

$$t=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-8\right)\times 4}}{2\left(-8\right)}$$

對 5 平方。

$$t=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-8\right)\times 4}}{2\left(-8\right)}$$

-4 乘上 -8。

$$t=\frac{-5±\sqrt{25+32\times 4}}{2\left(-8\right)}$$

32 乘上 4。

$$t=\frac{-5±\sqrt{25+128}}{2\left(-8\right)}$$

將 25 加到 128。

$$t=\frac{-5±\sqrt{153}}{2\left(-8\right)}$$

取 153 的平方根。

$$t=\frac{-5±3\sqrt{17}}{2\left(-8\right)}$$

2 乘上 -8。

$$t=\frac{-5±3\sqrt{17}}{-16}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 t=\frac{-5±3\sqrt{17}}{-16}。 將 -5 加到 3\sqrt{17}。

$$t=\frac{3\sqrt{17}-5}{-16}$$

-5+3\sqrt{17} 除以 -16。

$$t=\frac{5-3\sqrt{17}}{16}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 t=\frac{-5±3\sqrt{17}}{-16}。 從 -5 減去 3\sqrt{17}。

$$t=\frac{-3\sqrt{17}-5}{-16}$$

-5-3\sqrt{17} 除以 -16。

$$t=\frac{3\sqrt{17}+5}{16}$$

現已成功解出方程式。

$$t=\frac{5-3\sqrt{17}}{16} t=\frac{3\sqrt{17}+5}{16}$$

配方法的步驟

合併 7t^{2} 和 t^{2} 以取得 8t^{2}。

$$5t=8t^{2}-4$$

從兩邊減去 8t^{2}。

$$5t-8t^{2}=-4$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-8t^{2}+5t=-4$$

將兩邊同時除以 -8。

$$\frac{-8t^{2}+5t}{-8}=-\frac{4}{-8}$$

除以 -8 可以取消乘以 -8 造成的效果。

$$t^{2}+\frac{5}{-8}t=-\frac{4}{-8}$$

5 除以 -8。

$$t^{2}-\frac{5}{8}t=-\frac{4}{-8}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{-4}{-8} 約分至最低項。

$$t^{2}-\frac{5}{8}t=\frac{1}{2}$$

將 -\frac{5}{8} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{5}{16}。接著，將 -\frac{5}{16} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$t^{2}-\frac{5}{8}t+\left(-\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{5}{16}\right)^{2}$$

-\frac{5}{16} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$t^{2}-\frac{5}{8}t+\frac{25}{256}=\frac{1}{2}+\frac{25}{256}$$

將 \frac{1}{2} 與 \frac{25}{256} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$t^{2}-\frac{5}{8}t+\frac{25}{256}=\frac{153}{256}$$

因數分解 t^{2}-\frac{5}{8}t+\frac{25}{256}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(t-\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{153}{256}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(t-\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{256}}$$

化簡。

$$t-\frac{5}{16}=\frac{3\sqrt{17}}{16} t-\frac{5}{16}=-\frac{3\sqrt{17}}{16}$$

將 \frac{5}{16} 加到方程式的兩邊。

$$t=\frac{3\sqrt{17}+5}{16} t=\frac{5-3\sqrt{17}}{16}$$