解決5x^2-x-2184=0 |Microsoft數學求解器

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

解 x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20.8$$

$$x=21$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 5x^{2}+ax+bx-2184。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -10920 的所有此類整數組合。

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

計算每個組合的總和。

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

該解的總和為 -1。

$$a=-105 b=104$$

將 5x^{2}-x-2184 重寫為 \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)。

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

在第一個組因式分解是 5x，且第二個組是 104。

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-21。

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-21=0 並 5x+104=0。

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$5x^{2}-x-2184=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 5 代入 a，將 -1 代入 b，以及將 -2184 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

-4 乘上 5。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

-20 乘上 -2184。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

將 1 加到 43680。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

取 43681 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

-1 的相反數是 1。

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

2 乘上 5。

$$x=\frac{1±209}{10}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{1±209}{10}。 將 1 加到 209。

$$x=\frac{210}{10}$$

210 除以 10。

$$x=21$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{1±209}{10}。 從 1 減去 209。

$$x=-\frac{208}{10}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-208}{10} 約分至最低項。

$$x=-\frac{104}{5}$$

現已成功解出方程式。

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$5x^{2}-x-2184=0$$

將 2184 加到方程式的兩邊。

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

從 -2184 減去本身會剩下 0。

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

從 0 減去 -2184。

$$5x^{2}-x=2184$$

將兩邊同時除以 5。

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

除以 5 可以取消乘以 5 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

將 -\frac{1}{5} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{10}。接著，將 -\frac{1}{10} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

-\frac{1}{10} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

將 \frac{2184}{5} 與 \frac{1}{100} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

因數分解 x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

化簡。

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

將 \frac{1}{10} 加到方程式的兩邊。

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$