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解 x (復數求解)
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5x^{2}-4x+10=0
所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解,一個是在 ± 中使用加法,另一個是使用減法。
x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}
此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},將 5 代入 a,將 -4 代入 b,以及將 10 代入 c。
x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 10}}{2\times 5}
對 -4 平方。
x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 10}}{2\times 5}
-4 乘上 5。
x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-200}}{2\times 5}
-20 乘上 10。
x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-184}}{2\times 5}
將 16 加到 -200。
x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{46}i}{2\times 5}
取 -184 的平方根。
x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{2\times 5}
-4 的相反數是 4。
x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10}
2 乘上 5。
x=\frac{4+2\sqrt{46}i}{10}
現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10}。 將 4 加到 2i\sqrt{46}。
x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5}
4+2i\sqrt{46} 除以 10。
x=\frac{-2\sqrt{46}i+4}{10}
現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10}。 從 4 減去 2i\sqrt{46}。
x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}
4-2i\sqrt{46} 除以 10。
x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}
現已成功解出方程式。
5x^{2}-4x+10=0
與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方,首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。
5x^{2}-4x+10-10=-10
從方程式兩邊減去 10。
5x^{2}-4x=-10
從 10 減去本身會剩下 0。
\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{10}{5}
將兩邊同時除以 5。
x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{10}{5}
除以 5 可以取消乘以 5 造成的效果。
x^{2}-\frac{4}{5}x=-2
-10 除以 5。
x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}
將 -\frac{4}{5} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{2}{5}。接著,將 -\frac{2}{5} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。
x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-2+\frac{4}{25}
-\frac{2}{5} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。
x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{46}{25}
將 -2 加到 \frac{4}{25}。
\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{46}{25}
因數分解 x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}。一般而言,當 x^{2}+bx+c 是完全平方時,一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。
\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{46}{25}}
取方程式兩邊的平方根。
x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{46}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{46}i}{5}
化簡。
x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}
將 \frac{2}{5} 加到方程式的兩邊。