解決5x^2-29x-42=0 |Microsoft數學求解器

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

解 x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

$$x=7$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 5x^{2}+ax+bx-42。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -210 的所有此類整數組合。

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

計算每個組合的總和。

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

該解的總和為 -29。

$$a=-35 b=6$$

將 5x^{2}-29x-42 重寫為 \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)。

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

在第一個組因式分解是 5x，且第二個組是 6。

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-7。

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-7=0 並 5x+6=0。

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$5x^{2}-29x-42=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 5 代入 a，將 -29 代入 b，以及將 -42 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

對 -29 平方。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

-4 乘上 5。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

-20 乘上 -42。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

將 841 加到 840。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

取 1681 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

-29 的相反數是 29。

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

2 乘上 5。

$$x=\frac{29±41}{10}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{29±41}{10}。 將 29 加到 41。

$$x=\frac{70}{10}$$

70 除以 10。

$$x=7$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{29±41}{10}。 從 29 減去 41。

$$x=-\frac{12}{10}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-12}{10} 約分至最低項。

$$x=-\frac{6}{5}$$

現已成功解出方程式。

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$5x^{2}-29x-42=0$$

將 42 加到方程式的兩邊。

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

從 -42 減去本身會剩下 0。

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

從 0 減去 -42。

$$5x^{2}-29x=42$$

將兩邊同時除以 5。

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

除以 5 可以取消乘以 5 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

將 -\frac{29}{5} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{29}{10}。接著，將 -\frac{29}{10} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

-\frac{29}{10} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

將 \frac{42}{5} 與 \frac{841}{100} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

因數分解 x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

化簡。

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

將 \frac{29}{10} 加到方程式的兩邊。

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$