Solve 5x^2+32x+10=0

$$5 { x }^{ 2 } +32x+10=0$$

解 x

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5}\approx -0.329459981$$

$$x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}\approx -6.070540019$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$5x^{2}+32x+10=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 5 代入 a，將 32 代入 b，以及將 10 代入 c。

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

對 32 平方。

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

-4 乘上 5。

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-20\times 10}}{2\times 5}$$

-20 乘上 10。

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-200}}{2\times 5}$$

將 1024 加到 -200。

$$x=\frac{-32±\sqrt{824}}{2\times 5}$$

取 824 的平方根。

$$x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{2\times 5}$$

2 乘上 5。

$$x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10}。 將 -32 加到 2\sqrt{206}。

$$x=\frac{2\sqrt{206}-32}{10}$$

-32+2\sqrt{206} 除以 10。

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10}。 從 -32 減去 2\sqrt{206}。

$$x=\frac{-2\sqrt{206}-32}{10}$$

-32-2\sqrt{206} 除以 10。

$$x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5} x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$5x^{2}+32x+10=0$$

從方程式兩邊減去 10。

$$5x^{2}+32x+10-10=-10$$

從 10 減去本身會剩下 0。

$$5x^{2}+32x=-10$$

將兩邊同時除以 5。

$$\frac{5x^{2}+32x}{5}=-\frac{10}{5}$$

除以 5 可以取消乘以 5 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{32}{5}x=-\frac{10}{5}$$

-10 除以 5。

$$x^{2}+\frac{32}{5}x=-2$$

將 \frac{32}{5} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{16}{5}。接著，將 \frac{16}{5} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\left(\frac{16}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{16}{5}\right)^{2}$$

\frac{16}{5} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=-2+\frac{256}{25}$$

將 -2 加到 \frac{256}{25}。

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{206}{25}$$

因數分解 x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{206}{25}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{16}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{206}{25}}$$

化簡。

$$x+\frac{16}{5}=\frac{\sqrt{206}}{5} x+\frac{16}{5}=-\frac{\sqrt{206}}{5}$$

從方程式兩邊減去 \frac{16}{5}。

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5} x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$