解決42x^2-5x-3=0 |Microsoft數學求解器

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

解 x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0.214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 42x^{2}+ax+bx-3。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -126 的所有此類整數組合。

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

計算每個組合的總和。

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

該解的總和為 -5。

$$a=-14 b=9$$

將 42x^{2}-5x-3 重寫為 \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)。

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

在第一個組因式分解是 14x，且第二個組是 3。

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 3x-1。

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 3x-1=0 並 14x+3=0。

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$42x^{2}-5x-3=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 42 代入 a，將 -5 代入 b，以及將 -3 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

對 -5 平方。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-4 乘上 42。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-168 乘上 -3。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

將 25 加到 504。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

取 529 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

-5 的相反數是 5。

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

2 乘上 42。

$$x=\frac{5±23}{84}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{5±23}{84}。 將 5 加到 23。

$$x=\frac{28}{84}$$

透過找出與消去 28，對分式 \frac{28}{84} 約分至最低項。

$$x=\frac{1}{3}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{5±23}{84}。 從 5 減去 23。

$$x=-\frac{18}{84}$$

透過找出與消去 6，對分式 \frac{-18}{84} 約分至最低項。

$$x=-\frac{3}{14}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$42x^{2}-5x-3=0$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

從 -3 減去本身會剩下 0。

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

從 0 減去 -3。

$$42x^{2}-5x=3$$

將兩邊同時除以 42。

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

除以 42 可以取消乘以 42 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

透過找出與消去 3，對分式 \frac{3}{42} 約分至最低項。

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

將 -\frac{5}{42} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{5}{84}。接著，將 -\frac{5}{84} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

-\frac{5}{84} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

將 \frac{1}{14} 與 \frac{25}{7056} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

因數分解 x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

化簡。

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

將 \frac{5}{84} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$