解決40x^2-14x+1=0 |Microsoft數學求解器

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

解 x

$$x=\frac{1}{10}=0.1$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 40x^{2}+ax+bx+1。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

因為 ab 是正數，a 和 b 具有相同的正負號。 因為 a+b 是負值，a 和 b 都是負值。 列出乘積為 40 的所有此類整數組合。

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

計算每個組合的總和。

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

該解的總和為 -14。

$$a=-10 b=-4$$

將 40x^{2}-14x+1 重寫為 \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)。

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

在第一個組因式分解是 10x，且第二個組是 -1。

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 4x-1。

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 4x-1=0 並 10x-1=0。

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$40x^{2}-14x+1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 40 代入 a，將 -14 代入 b，以及將 1 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

對 -14 平方。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

-4 乘上 40。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

將 196 加到 -160。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

取 36 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

-14 的相反數是 14。

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

2 乘上 40。

$$x=\frac{14±6}{80}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{14±6}{80}。 將 14 加到 6。

$$x=\frac{20}{80}$$

透過找出與消去 20，對分式 \frac{20}{80} 約分至最低項。

$$x=\frac{1}{4}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{14±6}{80}。 從 14 減去 6。

$$x=\frac{8}{80}$$

透過找出與消去 8，對分式 \frac{8}{80} 約分至最低項。

$$x=\frac{1}{10}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$40x^{2}-14x+1=0$$

從方程式兩邊減去 1。

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

從 1 減去本身會剩下 0。

$$40x^{2}-14x=-1$$

將兩邊同時除以 40。

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

除以 40 可以取消乘以 40 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-14}{40} 約分至最低項。

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

將 -\frac{7}{20} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{7}{40}。接著，將 -\frac{7}{40} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

-\frac{7}{40} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

將 -\frac{1}{40} 與 \frac{49}{1600} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

因數分解 x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

化簡。

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

將 \frac{7}{40} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$