解決4z^2+2z=3 |Microsoft數學求解器

$$4 z ^ { 2 } + 2 z = 3$$

解 z

$$z=\frac{\sqrt{13}-1}{4}\approx 0.651387819$$

$$z=\frac{-\sqrt{13}-1}{4}\approx -1.151387819$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$4z^{2}+2z=3$$

從方程式兩邊減去 3。

$$4z^{2}+2z-3=3-3$$

從 3 減去本身會剩下 0。

$$4z^{2}+2z-3=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 4 代入 a，將 2 代入 b，以及將 -3 代入 c。

$$z=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

對 2 平方。

$$z=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

-4 乘上 4。

$$z=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

-16 乘上 -3。

$$z=\frac{-2±\sqrt{4+48}}{2\times 4}$$

將 4 加到 48。

$$z=\frac{-2±\sqrt{52}}{2\times 4}$$

取 52 的平方根。

$$z=\frac{-2±2\sqrt{13}}{2\times 4}$$

2 乘上 4。

$$z=\frac{-2±2\sqrt{13}}{8}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 z=\frac{-2±2\sqrt{13}}{8}。 將 -2 加到 2\sqrt{13}。

$$z=\frac{2\sqrt{13}-2}{8}$$

-2+2\sqrt{13} 除以 8。

$$z=\frac{\sqrt{13}-1}{4}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 z=\frac{-2±2\sqrt{13}}{8}。 從 -2 減去 2\sqrt{13}。

$$z=\frac{-2\sqrt{13}-2}{8}$$

-2-2\sqrt{13} 除以 8。

$$z=\frac{-\sqrt{13}-1}{4}$$

現已成功解出方程式。

$$z=\frac{\sqrt{13}-1}{4} z=\frac{-\sqrt{13}-1}{4}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$4z^{2}+2z=3$$

將兩邊同時除以 4。

$$\frac{4z^{2}+2z}{4}=\frac{3}{4}$$

除以 4 可以取消乘以 4 造成的效果。

$$z^{2}+\frac{2}{4}z=\frac{3}{4}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{2}{4} 約分至最低項。

$$z^{2}+\frac{1}{2}z=\frac{3}{4}$$

將 \frac{1}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{1}{4}。接著，將 \frac{1}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$z^{2}+\frac{1}{2}z+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

\frac{1}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$z^{2}+\frac{1}{2}z+\frac{1}{16}=\frac{3}{4}+\frac{1}{16}$$

將 \frac{3}{4} 與 \frac{1}{16} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$z^{2}+\frac{1}{2}z+\frac{1}{16}=\frac{13}{16}$$

因數分解 z^{2}+\frac{1}{2}z+\frac{1}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(z+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{13}{16}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(z+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{16}}$$

化簡。

$$z+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{13}}{4} z+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{13}}{4}$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{4}。

$$z=\frac{\sqrt{13}-1}{4} z=\frac{-\sqrt{13}-1}{4}$$