解決4x-y=5text{and}5y-4x=7 |Microsoft數學求解器

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-y=5$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$4x=y+5$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 y+5。

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

在另一個方程式 -4x+5y=7 中以 \frac{5+y}{4} 代入 x在方程式。

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

-4 乘上 \frac{5+y}{4}。

$$-y-5+5y=7$$

將 -y 加到 5y。

$$4y-5=7$$

將 5 加到方程式的兩邊。

$$4y=12$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=3$$

在 x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4} 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

\frac{1}{4} 乘上 3。

$$x=\frac{3+5}{4}$$

將 \frac{5}{4} 與 \frac{3}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

讓 4x 和 -4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

化簡。

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -16x+4y=-20 減去 -16x+20y=28。

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

將 -16x 加到 16x。 -16x 和 16x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y-20y=-20-28$$

將 4y 加到 -20y。

$$-16y=-20-28$$

將 -20 加到 -28。

$$-16y=-48$$

將兩邊同時除以 -16。

$$y=3$$

在 -4x+5y=7 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-4x+5\times 3=7$$

5 乘上 3。

$$-4x+15=7$$

從方程式兩邊減去 15。

$$-4x=-8$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=3$$