解決4x-5y=2text{and}x+10y=41 |Microsoft數學求解器

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

解 x、y

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-5y=2$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$4x=5y+2$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 5y+2。

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

在另一個方程式 x+10y=41 中以 \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} 代入 x在方程式。

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

將 \frac{5y}{4} 加到 10y。

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{2}。

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{45}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{18}{5}$$

在 x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2} 中以 \frac{18}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

\frac{5}{4} 乘上 \frac{18}{5} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{9+1}{2}$$

將 \frac{1}{2} 與 \frac{9}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

讓 4x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

化簡。

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x-5y=2 減去 4x+40y=164。

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-5y-40y=2-164$$

將 -5y 加到 -40y。

$$-45y=2-164$$

將 2 加到 -164。

$$-45y=-162$$

將兩邊同時除以 -45。

$$y=\frac{18}{5}$$

在 x+10y=41 中以 \frac{18}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

10 乘上 \frac{18}{5}。

$$x+36=41$$

從方程式兩邊減去 36。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$